Giải bài tập 5.2 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, với A(1;−1;3),B(0;2;4),D(2;−1;1),A′(0;1;2). a) Tìm tọa độ các điểm C, B’, D’. b) Viết phương trình mặt phẳng (CB’D’).
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, với A(1;−1;3),B(0;2;4),D(2;−1;1),A′(0;1;2).
a) Tìm tọa độ các điểm C, B’, D’.
b) Viết phương trình mặt phẳng (CB’D’).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng để viết: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm cặp vectơ chỉ phương →AB,→AC
+ Tìm vectơ pháp tuyến →n=[→AB,→AC].
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ pháp tuyến là →n.
Lời giải chi tiết
a) →AB(−1;3;1),→AA′(−1;2;−1)
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên
+) →AB=→A′B′⇒{xB′−xA′=−1yB′−yA′=3zB′−zA′=1⇒{xB′=−1+xA′=−1+0=−1yB′=3+yA′=3+1=4zB′=1+zA′=1+2=3⇒B′(−1;4;3)
+) →AA′=→DD′⇒{xD′−xD=−1yD′−yD=2zD′−zD=−1⇒{xD′=−1+xD=1yD′=2+yD=1zD′=−1+zD=0⇒D′(1;1;0)
+) →AB=→DC⇒{−1=xC−xD3=yC−yD1=zC−zD⇒{xC=−1+xD=−1+2=1yC=3+yD=3−1=2zC=1+zD=1+1=2⇒C(1;2;2)
b) Ta có: →CD′(0;−1;−2),→CB′(−2;2;1)
Ta có: [→CD′,→CB′]=(|−1−221|;|−201−2|;|0−1−22|)=(3;4;−2)
Mặt phẳng (CB’D’) đi qua điểm C(1;2;2) và nhận [→CD′,→CB′]=(3;4;−2) làm một vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình mặt phẳng (CB’D’) là:
3(x−1)+4(y−2)−2(z−2)=0⇔3x+4y−2z−7=0