Giải bài tập 5.6 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x+y+z+2=0,(Q):x+y+z+6=0. Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x+y+z+2=0,(Q):x+y+z+6=0. Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α):Ax+By+Cz+D=0, (β):A′x+B′y+C′z+D′=0 với các vectơ pháp tuyến →n=(A;B;C),→n′=(A′;B′;C′) tương ứng. Khi đó, (α)//(β)⇔{→n′=k→nD′≠kD với k nào đó.
Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P):Ax+By+Cz+D=0 là d(M,(P))=|Ax0+By0+Cz0+D|√A2+B2+C2.
Lời giải chi tiết
a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: →nP=(1;1;1), mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: →nQ=(1;1;1). Vì →nP=→nQ và 2≠6 nên (P) và (Q) song song với nhau.
b) Lấy điểm A(0; 0; -2) thuộc mặt phẳng (P). Ta có: d(A,(Q))=|0+0−2+6|√12+12+12=4√33
Vì (P) và (Q) song song với nhau nên d((P),(Q))=d(A,(Q))=4√33.