Giải bài tập 5 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Toán 12 Chân trời sáng tạo


Giải bài tập 5 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;0;1} \right)\), \(B\left( {5;2;3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta \right):2x - y + z - 7 = 0.\)

Đề bài

Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;0;1} \right)\), \(B\left( {5;2;3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta  \right):2x - y + z - 7 = 0\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(A\), \(B\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} .\)

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\), nên vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) là một vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\). Do đó \(\left( \alpha  \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \) và \(\vec n\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) là \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec n} \right]\). Từ đó viết được phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right).\)

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(A\left( {1;0;1} \right)\), \(B\left( {5;2;3} \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \left( {4;2;2} \right).\)

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\), nên vectơ pháp tuyến \(\vec n\left( {2; - 1;1} \right)\) của mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) là một vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right).\)

Như vậy \(\left( \alpha  \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \left( {4;2;2} \right)\) và \(\vec n\left( {2; - 1;1} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là

\(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec n} \right] = \left( {2.1 - 2.\left( { - 1} \right);2.2 - 4.1;4.\left( { - 1} \right) - 2.2} \right) = \left( {4;0; - 8} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là

\(4\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 0} \right) - 8\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2z + 1 = 0.\)


Cùng chủ đề:

Giải bài tập 5 trang 24 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Giải bài tập 5 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Giải bài tập 5 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Giải bài tập 5 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Giải bài tập 5 trang 37 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Giải bài tập 5 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Giải bài tập 5 trang 51 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Giải bài tập 5 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Giải bài tập 5 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Giải bài tập 5 trang 64 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Giải bài tập 5 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo