Giải bài tập 5 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua hai điểm $A\left( {1;0;1} \right)$ , $B\left( {5;2;3} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \beta \right):2x - y + z - 7 = 0.$

Đề bài

Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua hai điểm $A\left( {1;0;1} \right)$ , $B\left( {5;2;3} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \beta \right):2x - y + z - 7 = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $A$ , $B$ nên có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} .$

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( \beta \right)$ , nên vectơ pháp tuyến $\vec n$ của mặt phẳng $\left( \beta \right)$ là một vectơ chỉ phương của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ . Do đó $\left( \alpha \right)$ có một cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB}$ và $\vec n$ . Suy ra một vectơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$ là $\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec n} \right]$ . Từ đó viết được phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right).$

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $A\left( {1;0;1} \right)$ , $B\left( {5;2;3} \right)$ nên có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} \left( {4;2;2} \right).$

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( \beta \right)$ , nên vectơ pháp tuyến $\vec n\left( {2; - 1;1} \right)$ của mặt phẳng $\left( \beta \right)$ là một vectơ chỉ phương của mặt phẳng $\left( \alpha \right).$

Như vậy $\left( \alpha \right)$ có một cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} \left( {4;2;2} \right)$ và $\vec n\left( {2; - 1;1} \right)$ . Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là

$\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec n} \right] = \left( {2.1 - 2.\left( { - 1} \right);2.2 - 4.1;4.\left( { - 1} \right) - 2.2} \right) = \left( {4;0; - 8} \right)$ .