Giải bài tập 5 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau: a) d:{x=1+ty=−1+2tz=−2+t và d′:{x=2+2t′y=3+4t′z=2t′ b) d:x−11=y−22=z−32 và d′:x−21=y−15=z−11.
Đề bài
Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) d:{x=1+ty=−1+2tz=−2+t và d′:{x=2+2t′y=3+4t′z=2t′
b) d:x−11=y−22=z−32 và d′:x−21=y−15=z−11.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Viết các vectơ chỉ phương →a và →a′ của d và d′.
Trường hợp hai vectơ →a và →a′ cùng phương, lấy một điểm M thuộc d. Nếu điểm đó không nằm trên d′ thì hai đường thẳng đó song song với nhau; ngược lại, hai đường thẳng đó trùng nhau.
Trường hợp hai vectơ →a và →a′ không cùng phương, lấy một điểm M thuộc d và một điểm M′ thuộc d′, sau đó tính tích hỗn hợp [→a,→a].→MM′. Nếu tích hỗn hợp đó bằng 0, hai đường thẳng đó cắt nhau; ngược lại, hai đường thẳng đó chéo nhau.
Lời giải chi tiết
a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là →a=(1;2;1).
Đường thẳng d′ có vectơ chỉ phương là →a′=(2;4;2).
Do 12=24=12 nên →a và →a′ cùng phương, suy ra d và d′ hoặc song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm M(1;−1;−2) thuộc d.
Thay hoành độ điểm M vào phương trình x=2+2t′ ta có 1=2+2t′⇒t′=−12.
Thay y=−1 và t′=−12 vào phương trình y=3+4t′, ta thấy phương trình không thoả mãn, do 3+4.−12=1≠−1.
Vậy điểm M không thuộc d′. Suy ra d∥d′.
b) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là →a=(1;2;2).
Đường thẳng d′ có vectơ chỉ phương là →a′=(1;5;1).
Do 11≠25, nên →a và →a′ không cùng phương. Suy ra d và d′ hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.
Lấy điểm M(1;2;3) thuộc d và M′(2;1;1) thuộc d′.
Ta có [→a,→a′]=(−8;1;3) và →MM′=(1;−1;−2).
Suy ra [→a,→a′].→MM′=(−8).1+1.(−1)+3.(−2)=−15≠0.
Vậy hai đường thẳng d và d′ chéo nhau.