Giải bài tập 5 trang 66 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho ba mặt phẳng $\left( \alpha  \right):x + y + 2z + 1 = 0$, $\left( \beta  \right):x + y - z + 2 = 0$ và $\left( \gamma  \right):x - y + 5 = 0$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

A. $\left( \alpha  \right) \bot \left( \beta  \right)$

B. $\left( \gamma  \right) \bot \left( \beta  \right)$

C. $\left( \alpha  \right)\parallel \left( \beta  \right)$

D. $\left( \alpha  \right) \bot \left( \gamma  \right)$

Lời giải chi tiết

Các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$, $\left( \beta  \right)$, $\left( \gamma  \right)$ lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;1;2} \right)$, $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;1; - 1} \right)$, $\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {1; - 1;0} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 1.1 + 1.1 + 2.\left( { - 1} \right) = 0$, suy ra $\left( \alpha  \right) \bot \left( \beta  \right)$.

Ta có $\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow {{n_3}}  = 1.1 + 1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).0 = 0$, suy ra $\left( \gamma  \right) \bot \left( \beta  \right)$.

Ta có $\frac{1}{1} \ne \frac{2}{{ - 1}}$, suy ra $\left( \alpha  \right)$ và $\left( \beta  \right)$ không song song với nhau.

Ta có $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_3}}  = 1.1 + 1.\left( { - 1} \right) + 2.0 = 0$, suy ra $\left( \alpha  \right) \bot \left( \gamma  \right)$.

Vậy đáp án cần chọn là C.