Giải bài tập 6 trang 89 SGK Toán 9 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho đường tròn (O; 5 cm) , điểm M nằm ngoài (O) sao cho hai tiếp tuyến MA và MB (A; B là hai tiếp điểm) vuông góc với nhau tại M. a) Tính độ dài MA và MB. b) Qua giao điểm I của đoạn thẳng MO và đường tròn (O), vẽ một tiếp tuyến cắt OA, OB lần lượt tại C, D. Tính độ dài CD.
Đề bài
Cho đường tròn (O; 5 cm) , điểm M nằm ngoài (O) sao cho hai tiếp tuyến MA và MB (A; B là hai tiếp điểm) vuông góc với nhau tại M.
a) Tính độ dài MA và MB.
b) Qua giao điểm I của đoạn thẳng MO và đường tròn (O), vẽ một tiếp tuyến cắt OA, OB lần lượt tại C, D. Tính độ dài CD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Dựa vào dữ kiện đề bài để vẽ hình.
- Chứng minh tứ giác AOBM là hình vuông suy ra đô dài MA và MB.
- Chứng minh OI \( \bot \) AC, tam giác OAC là tam giác cân suy ra OI vừa là trung tuyến và vừa phân giác \(\widehat {COA}\) nên OM là tia phân giác của \(\widehat {COA}\).
- Chứng minh tam giác OCD cân tại O suy ra OI là đường trung tuyến. Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác CIO ta tính CI suy ra CD.
Lời giải chi tiết
a) Xét tứ giác AOBM có:
\(\widehat {MAO} = {90^o}\) (Vì AM là tiếp tuyến của (O))
\(\widehat {OBM} = {90^o}\)(Vì BM là tiếp tuyến của (O))
\(\widehat {AMB} = {90^o}\) (Vì \(AM \bot MB\) tại M).
Do đó, tứ giác AOBM là hình chữ nhật.
Mà OA = OB (= R của (O))
Nên tứ giác AOBM là hình vuông.
Nên ta có MA = MB = OA = 5 cm.
b) Vì AM và MB là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M nên OM là phân giác của
\(\widehat {AOB}\).
Ta có: \(\widehat {AOM} = \frac{1}{2}.\widehat {AOB} = \frac{1}{2}{.90^o} = {45^o}\)
Xét tam giác OCD có OI là đường cao (vì CI là tiếp tuyến của đường trồn tâm O) và OI là đường phân giác .
Do đó: tam giác OCD cân tại O.
Suy ra OI cũng là đường trung tuyến.
Xét tam giác CIO vuông tại I có CI = OI.tan \(\widehat {COI}\) = 5 .tan 45 o = 5 cm.
Mà I là trung điểm của CD (Vì OI là trung tuyến tam giác COD).
Do đó CD = 2CI = 2.5 = 10 cm.