Giải bài tập 6 trang 90 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hàm số f(x) thỏa mãn: $f\left( 0 \right) = 1$ và $f'\left( x \right) = 2\sin x + 1$. Khi đó $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx}$ bằng

A. $\frac{{{\pi ^2} + 12\pi  - 16}}{8}$.

B. $\frac{{{\pi ^2} - 4\pi  + 16}}{8}$.

C. $\frac{{{\pi ^2} + 6\pi  - 8}}{4}$.

D. $\frac{{{\pi ^2} - 2\pi  + 8}}{4}$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\int {f'\left( x \right)dx}  = \int {\left( {2\sin x + 1} \right)dx}  =  - 2\cos x + x + C$. Do đó, $f\left( x \right) =  - 2\cos x + x + C$

Lại có: $f\left( 0 \right) = 1$ nên $- 2\cos 0 + 0 + C = 1 \Rightarrow C = 3$ nên $f\left( x \right) =  - 2\cos x + x + 3$

Do đó: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( { - 2\cos x + x + 3} \right)dx}  = \left( { - 2\sin x + \frac{{{x^2}}}{2} + 3x} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array} \right. =  - 2\sin \frac{\pi }{2} + \frac{{{\pi ^2}}}{8} + \frac{{3\pi }}{2}$

$=  - 2 + \frac{{{\pi ^2}}}{8} + \frac{{3\pi }}{2} = \frac{{{\pi ^2} + 12\pi  - 16}}{8}$

Chọn A