Giải mục 1 trang 64, 65 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Hoạt động 1

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với .${u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}$.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

b) Với $n$ thế nào thì $\left| {{u_n}} \right|$ bé hơn 0,01; 0,001?

c) Một số số hạng của dãy số được biểu diễn trên trục số như Hình 1.

Từ các kết quả trên, có nhận xét gì về khoảng cách từ điểm ${u_n}$ đến điểm 0 khi $n$ trở nên rất lớn?

Phương pháp giải:

a) Để tìm $\left| {{u_n}} \right|$, ta thay $n$ vào công thức $\left| {{u_n}} \right| = \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}} \right|$.

b) Để tìm $n$, ta giải các bất đẳng thức $\left| {{u_n}} \right| < 0,01;\left| {{u_n}} \right| < 0,001$.

Lời giải chi tiết:

a) $n = 100 \Leftrightarrow \left| {{u_{100}}} \right| = \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{100}}}}{{100}}} \right| = \frac{1}{{100}} = 0,01$

$n = 1000 \Leftrightarrow \left| {{u_{1000}}} \right| = \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{1000}}}}{{1000}}} \right| = \frac{1}{{1000}} = 0,001$

Như vậy ta có thể điền vào bảng như sau:

b) $\left| {{u_n}} \right| < 0,01 \Leftrightarrow \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}} \right| < 0,01 \Leftrightarrow \frac{1}{n} < 0,01 \Leftrightarrow n > 100$

Vậy $\left| {{u_n}} \right| < 0,01$ khi $n > 100$.

$\left| {{u_n}} \right| < 0,001 \Leftrightarrow \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}} \right| < 0,001 \Leftrightarrow \frac{1}{n} < 0,001 \Leftrightarrow n > 1000$

Vậy $\left| {{u_n}} \right| < 0,001$ khi $n > 1000$.

c) Dựa vào trục số ta thấy, khoảng cách từ điểm ${u_n}$ đến điểm 0 trở nên rất bé khi $n$ trở nên rất lớn.

Thực hành 1

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{1}{{{n^2}}}$;

b) $\lim {\left( { - \frac{3}{4}} \right)^n}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng giới hạn cơ bản:

• $\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0$, với $k$ nguyên dương bất kì.

• $\lim {q^n} = 0$, với $q$ là số thực thỏa mãn $\left| q \right| < 1$.

Lời giải chi tiết:

a) Áp dụng công thức giới hạn cơ bản với $k = 2$, ta có: $\lim \frac{1}{{{n^2}}}$.

b) Do $\left| { - \frac{3}{4}} \right| = \frac{3}{4} < 1$ nên $\lim {\left( { - \frac{3}{4}} \right)^n} = 0$.

Hoạt động 2

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{2n + 1}}{n}$.

a) Cho dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = {u_n} - 2$. Tìm giới hạn $\lim {v_n}$.

b) Biểu diễn các điểm ${u_1},{u_2},{u_3},{u_4}$ trên trục số. Có nhận xét gì về vị trí của các điểm ${u_n}$ khi $n$ trở nên rất lớn?

Phương pháp giải:

a) Tìm công thức tổng quát của ${v_n}$ sau đó áp dụng giới hạn cơ bản: $\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0$, với $k$ nguyên dương bất kì.

b) Tính ${u_1},{u_2},{u_3},{u_4}$ rồi biểu diễn trên trục số.

Lời giải chi tiết:

a) ${v_n} = {u_n} - 2 = \frac{{2n + 1}}{n} - 2 = \frac{{2n + 1 - 2n}}{n} = \frac{1}{n}$.

Áp dụng giới hạn cơ bản với $k = 1$, ta có: $\lim {v_n} = \lim \frac{1}{n} = 0$.

b) ${u_1} = \frac{{2.1 + 1}}{1} = 3,{u_2} = \frac{{2.2 + 1}}{2} = \frac{5}{2},{u_3} = \frac{{2.3 + 1}}{3} = \frac{7}{3},{u_4} = \frac{{2.4 + 1}}{4} = \frac{9}{4}$

Biểu diễn trên trục số:

Nhận xét: Điểm ${u_n}$ càng dần đến điểm 2 khi $n$ trở nên rất lớn.

Thực hành 2

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \left( {2 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}} \right)$;

b) $\lim \left( {\frac{{1 - 4n}}{n}} \right)$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Đặt dãy số cần tính giới hạn là ${u_n}$, từ đó tìm $a$ sao cho $\lim \left( {{u_n} - a} \right) = 0$.

Bước 2: Áp dụng định lý giới hạn hữu hạn của dãy số: $\lim {u_n} = a$ nếu $\lim \left( {{u_n} - a} \right) = 0$.

Lời giải chi tiết:

a) Đặt ${u_n} = 2 + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} \Leftrightarrow {u_n} - 2 = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}$.

Suy ra $\lim \left( {{u_n} - 2} \right) = \lim {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0$

Theo định nghĩa, ta có $\lim {u_n} = 2$. Vậy $\lim \left( {2 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}} \right) = 2$

b) Đặt ${u_n} = \frac{{1 - 4n}}{n} = \frac{1}{n} - 4 \Leftrightarrow {u_n} - \left( { - 4} \right) = \frac{1}{n}$.

Suy ra $\lim \left( {{u_n} - \left( { - 4} \right)} \right) = \lim \frac{1}{n} = 0$.

Theo định nghĩa, ta có $\lim {u_n} =  - 4$. Vậy $\lim \left( {\frac{{1 - 4n}}{n}} \right) =  - 4$