Giải mục 1 trang 8, 9, 10, 11 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Hoạt động 1

Trên đường tròn lượng giác, gọi M và N lần lượt là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo $\frac{{9\pi }}{4}$ và $- \frac{\pi }{6}$. Tìm tọa độ của M và N.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức lượng giác:

Lời giải chi tiết:

Gọi các điểm như trên hình vẽ

Gọi x và y lần lượt là hoành độ và tung độ của M $\left( {x > 0,y > 0} \right)$

Vì tam giác OMH vuông tại H và có góc $\widehat {MOH} = \frac{\pi }{4}$ nên $OH = OM.\cos \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Vì tam giác OKM vuông tại K và có góc $\widehat {MOK} = \frac{\pi }{4}$ nên $OK = OM.\cos \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Mà $x > 0,y > 0$ nên $M\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$

Gọi z và t là hoành độ và tung độ của N $\left( {z > 0,t < 0} \right)$

Vì tam giác OBN vuông tại B có góc $\widehat {BON} = \frac{\pi }{6}$ nên $OB = ON.\cos \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Vì tam giác OAN vuông tại A có góc $\widehat {AON} = \frac{\pi }{3}$ nên $OA = ON.\cos \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}$

Mà $z > 0,t < 0$ nên $N\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2}} \right)$.

Luyện tập 1

Tìm các giá trị lượng giác của góc 330 ⁰ .

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức lượng giác:

Lời giải chi tiết:

Trên đường tròn lượng giác, gọi M là điểm biểu diễn của góc lượng giác 330 ⁰

Gọi x và y lần lượt là hoành độ và tung độ của M. Ta có: $x > 0,y < 0$

Vì tam giác OMH vuông tại H và có góc $\widehat {MOH} = {30^0}$ nên $OH = OM.\cos {30^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Vì tam giác OKM vuông tại K và có góc $\widehat {MOK} = {60^0}$ nên $OK = OM.\cos {60^0} = \frac{1}{2}$

Suy ra: $\cos {330^0} = x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$, $\sin {330^0} = y =  - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \tan {330^0} = \frac{{\sin {{330}^0}}}{{\cos {{330}^0}}} = \left( { - \frac{1}{2}} \right):\frac{{\sqrt 3 }}{2} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

$\Rightarrow \cot {330^0} = \frac{{\cos {{330}^0}}}{{\sin {{330}^0}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}:\left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - \sqrt 3$

Hoạt động 2

Hãy viết lại bảng các giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt từ 0 ⁰ đến 90 ⁰ đã học ở lớp 10.

Phương pháp giải:

Xem lại sách lớp 10

Lời giải chi tiết:

Luyện tập 2

Tính $\sin \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right),\cos \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right),\tan \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right),\cot \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right)$.

Phương pháp giải:

$\begin{array}{l}\sin \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \cos \alpha \\\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\\\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\end{array}$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\sin \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right) = \sin \left( { - 6\pi  + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\\\cos \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right) = \cos \left( { - 6\pi  + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\tan \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right) = \frac{{\sin \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right)}}{{\cos \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right)}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\\cot \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right) = \frac{{\cos \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right)}}{{\sin \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right)}} = \sqrt 3 \end{array}$

Luyện tập 3

Tính $\sin {315^0},\cos \frac{{12\pi }}{7},\tan \left( { - {{168}^0}} \right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính cầm tay.

Lời giải chi tiết:

$\sin \left( {{{315}^0}} \right) =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

$\cos \frac{{12\pi }}{7} \approx 0,62$

$\tan \left( { - {{168}^0}} \right) \approx 0,21$

Vận dụng

Một cánh tay robot dài 1m được điều khiển để gắp một vật tại điểm C, rồi xoay theo chiều dương một góc 225 ⁰ để thả vật tại điểm D như Hình 1.20. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tâm của cánh tay robot trùng với O và C có tọa độ là (1; 0). Tìm tọa độ của vật tại điểm D.

Phương pháp giải:

Hoành độ của điểm D là $\cos {225^0}$, tung độ của điểm D là $\sin {225^0}$.

Lời giải chi tiết:

Gọi x và y là hoành độ và tung độ của D

$\begin{array}{l}x = \cos {225^0} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\y = \sin {225^0} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}$

Vậy $D\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}; - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$.