Giải mục 2 trang 21, 22 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Giả sử ĐO là phép đối xứng tâm O. Lấy hai điểm tùy ý A, B sao cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng.
Khám phá 2
Giả sử Đ O là phép đối xứng tâm O. Lấy hai điểm tùy ý A, B sao cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua Đ O . So sánh tam giác OAB và tam giác O’A’B’ rồi so sánh A’B’ và AB.
Phương pháp giải:
Vẽ hình sau đó quan sát và so sánh
Lời giải chi tiết:
Theo đề, ta có ĐO(A)=A′.
Suy ra O là trung điểm AA’, do đó OA=OA′.
Chứng minh tương tự, ta được OB=OB′.
Xét ΔOAB và ΔOA′B′, có:
OA=OA′ (chứng minh trên);
^AOB=^A′OB′ (đối đỉnh);
OB=OB′ (chứng minh trên).
Do đó ΔOAB=ΔOA′B′(c.g.c).
Suy ra A′B′=AB (cặp cạnh tương ứng).
Vậy ΔOAB=ΔOA′B′ và A′B′=AB.
Thực hành 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm ảnh qua Đ O của
a) điểm M(3; –4);
b) đường thẳng d: x – 3y + 6 = 0;
c) đường tròn (C): (x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 4.
Phương pháp giải:
Nếu M′=ĐI(M) thì {xM′+xM=2xIyM′+yM=2yI (I là trung điểm của MM’)
Lời giải chi tiết:
a) Gọi M’ là ảnh của M qua Đ O .
Suy ra O là trung điểm của MM’ với M(3;−4).
Do đó {xM′=2xO−xM=2.0−3=−3yM′=2yO−yM=2.0+4=4
Vậy M′(−3;4).
b) • Chọn A(0;2)∈d:x−3y+6=0.
Gọi A’là ảnh của A qua ĐO.
Suy ra O là trung điểm của AA’ với A(0; 2)
Do đó {xA′=2xO−xA=2.0−0=0yA′=2yO−yA=2.0−2=−2
Vì vậy A’(0; –2).
• Đường thẳng d:x−3y+6=0 có vectơ pháp tuyến →n=(1;−3)
Gọi d’ là ảnh của d qua ĐO.
Suy ra d’ song song hoặc trùng với d, nên d’ nhận vectơ pháp tuyến của d là →n=(1;−3) làm vectơ pháp tuyến.
Vậy đường thẳng d’ đi qua A’(0; –2) và nhận làm vectơ →n=(1;−3) pháp tuyến nên có phương trình là:
1(x−0)−3(y+2)=0⇔x−3y−6=0.
c) Đường tròn (C):(x+2)2+(y−1)2=4 có tâm I(–2; 1), bán kính R = 2.
Gọi (C’) là ảnh của (C) qua Đ O nên (C’) có tâm là ảnh của I(–2; 1) và có bán kính R’ = R = 2.
Gọi I’= Đ O (I).
Suy ra O là trung điểm II′.
Do đó {xI′=2xO−xI=2.0+2=2yI′=2yO−yI=2.0−1=−1
Vì vậy tọa độ I’(2; –1).
Vậy đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua Đ O , có tâm I’(2; –1) và R’ = 2 nên có phương trình là:
(x−2)2+(y+1)2=4.
Vận dụng 2
Trong Hình 6, tìm các số ghi tại điểm đối xứng qua tâm bia với điểm ghi các số 20; 7; 9.
Phương pháp giải:
Quan sát hình 6 để tìm
Lời giải chi tiết:
Gọi O là tâm bia.
• Lấy điểm A nằm trong ô có điểm ghi số 20. Lấy A’ đối xứng với A qua O.
Khi đó ta được điểm A’ nằm trong ô có điểm ghi số 8.
• Lấy điểm B nằm trong ô có điểm ghi số 7. Lấy B’ đối xứng với B qua O.
Khi đó ta được điểm B’ nằm trong ô có điểm ghi số 18.
• Lấy điểm C nằm trong ô có điểm ghi số 9. Lấy C’ đối xứng với C qua O.
Khi đó ta được điểm C’ nằm trong ô có điểm ghi số 15.
Vậy điểm đối xứng qua tâm bia với điểm ghi các số 20; 7; 9 lần lượt là 8; 18; 15.