Giải mục 2 trang 26, 27, 28 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Khảo sát hàm số (y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d(a ne 0))

TH1

Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 28 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = - 2{x^3} - 3{x^2} + 1\)

b) \(y = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\)

Phương pháp giải:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (nếu có và dễ tìm), ...

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) \(y = - 2{x^3} - 3{x^2} + 1\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

Chiều biến thiên:

\(y' = - 6{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 0\end{array} \right.\)

Trên các khoảng (\( - \infty \); -1), (0; \( + \infty \)) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (-1; 0) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và \({y_{cd}} = 1\)

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{ct}} = 0\)

Các giới hạn tại vô cực:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ( - 2{x^3} - 3{x^2} + 1) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( - 2{x^3} - 3{x^2} + 1) = - \infty \)

Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = 1 nên (0; 1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow - 2{x^3} - 3{x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại hai điểm (-1; 0) và (\(\frac{1}{2}\); 0)

b) \(y = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

Chiều biến thiên:

\(y' = 3{x^2} + 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)

\(y' \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\)nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Cực trị:

Hàm số không có cực trị

Các giới hạn tại vô cực:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1) = + \infty \)