Giải mục 2 trang 33, 34 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

HĐ 3

Cho điểm O và đường thẳng $\Delta$ không đi qua O. Gọi d là đường thẳng đi qua O và song song với $\Delta$. Xét hai mặt phẳng phân biệt tuỳ ý (P) và (Q) cùng chứa d. Trong các mặt phẳng (P), (Q) tương ứng kẻ các đường thẳng a, b cùng đi qua O và vuông góc với d (H.7.16). Giải thích vì sao mp(a, b) đi qua O và vuông góc với $\Delta$.

Phương pháp giải:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

$\left. \begin{array}{l}a \bot d\\d//\Delta \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta  \bot a$

$\left. \begin{array}{l}b \bot d\\d//\Delta \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta  \bot b$

Mà $a \cap b = \left\{ O \right\}$ $\Rightarrow$ mp(a, b) đi qua O và vuông góc với $\Delta$.

HĐ 4

Cho mặt phẳng (P) và điểm O. Trong mặt phẳng (P), lấy hai đường thẳng cắt nhau a, b tuỳ ý. Gọi $\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)$ là các mặt phẳng qua O và tương ứng vuông góc với a, b (H.7.19).

a) Giải thích vì sao hai mặt phẳng $\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)$ cắt nhau theo một đường thẳng $\Delta$ đi qua O.

b) Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa $\Delta$ và (P).

Phương pháp giải:

- 2 mặt phẳng cắt nhau theo 1 giao tuyến là đường thẳng.

- Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

a) Vì $\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)$ là các mặt phẳng qua O và giao 2 mặt phẳng là 1 đường thẳng nên hai mặt phẳng $\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)$ cắt nhau theo một đường thẳng đi qua O.

b) Gọi $\Delta$ là giao tuyến của 2 $\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)$

$\left. \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha  \right)\\\Delta  \subset \left( \alpha  \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot \Delta$

$\left. \begin{array}{l}b \bot \left( \beta  \right)\\\Delta  \subset \left( \beta  \right)\end{array} \right\} \Rightarrow b \bot \Delta$

Mà $a \cap b = \left\{ I \right\} \Rightarrow \Delta  \bot \left( P \right)$

LT 2

Cho ba điểm phân biệt A, B, C sao cho các đường thẳng AB và AC cùng vuông góc với một mặt phẳng (P). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Phương pháp giải:

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Vì AB và AC cùng vuông góc với một mặt phẳng (P) nên AB trùng AC

$\Rightarrow$ A, B, C thẳng hàng.