Giải mục 3 trang 26, 27, 28, 29, 30 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Hoạt động 7

a) Xét các số thực x _1, x ₂ , sao cho $0 < {x_1} < {x_2} < \frac{\pi }{2}$. Gọi M và N lần lượt là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo x ₁ rad và x ₂ rad. Hãy so sánh tung độ của M và N, từ đó so sánh $\sin {x_1}$ và $\sin {x_2}$.

b) Xét các số thực x ₃ , x ₄ , sao cho $\frac{\pi }{2} < {x_1} < {x_2} < \pi$. Gọi P và Q lần lượt là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo x ₃ rad và x ₄ rad. Hãy so sánh tung độ của P và Q, từ đó so sánh $\sin {x_3}$ và $\sin {x_4}$.

Phương pháp giải:

Lấy x _1, x ₂ và x ₃ , x ₄ bất kì thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Tung độ của các điểm M, N, P, Q chính là $\sin {x_1}$, $\sin {x_2}$, $\sin {x_3}$, $\sin {x_4}$. Tính $\sin {x_1}$, $\sin {x_2}$, $\sin {x_3}$, $\sin {x_4}$. Từ đó so sánh các giá trị này.

Lời giải chi tiết:

a)

$\begin{array}{l}{x_1} = \frac{\pi }{6} \Rightarrow \sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\\{x_2} = \frac{\pi }{3} \Rightarrow \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow \sin {x_1} < \sin {x_2}\end{array}$

b)

$\begin{array}{l}{x_3} = \frac{{2\pi }}{3} \Rightarrow \sin \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\{x_4} = \frac{{5\pi }}{6} \Rightarrow \sin \frac{{5\pi }}{6} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \sin {x_3} > \sin {x_4}\end{array}$

Luyện tập 7

a) Dựa vào đồ thị hàm số $y = \sin x$, xác định tất cả các giá trị của $x \in \left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]$ sao cho $\sin x = 0$.

b) Xác định các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]$.

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị hàm số $y = \sin x$.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào đồ thị hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $x \in \left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]$, ta có $\sin x = 0$ khi $x \in \left\{ { - 3\pi ; - 2\pi ; - \pi ;0;\pi ;2\pi ;3\pi } \right\}$.

b) Các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]$ là $\left( { - 3\pi ; - \frac{{5\pi }}{2}} \right),\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right),\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right),\left( {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right)$.

Hoạt động 8

Xét các số thực x _1, x ₂ sao cho $0 < {x_1} < {x_2} < \pi$. Gọi M và N lần lượt là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo x ₁ rad và x ₂ rad. Hãy so sánh hoành độ của M và N, từ đó so sánh $\cos {x_1}$ và $\cos {x_2}$.

Phương pháp giải:

Lấy x _1, x ₂ bất kì thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Hoành độ của các điểm M, N chính là $\cos {x_1},\cos {x_2}$. Tính $\cos {x_1},\cos {x_2}$. Từ đó so sánh các giá trị này.

Lấy x _1, x ₂ bất kì thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Hoành độ của các điểm M, N chính là $\cos {x_1},\cos {x_2}$ . Tính $\cos {x_1},\cos {x_2}$ . Từ đó so sánh các giá trị này.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}{x_1} = \frac{\pi }{6} \Rightarrow \cos \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\{x_2} = \frac{\pi }{4} \Rightarrow \cos \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow \cos {x_1} > \cos {x_2}\end{array}$

Luyện tập 8

a) Dựa vào đồ thị hàm số $y = \cos x$, xác định tất cả các giá trị của $x \in \left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]$ sao cho $\cos x =  - 1$.

b) Xác định các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \cos x$ trên đoạn $\left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]$.

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị hàm số $y = \cos x$.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào đồ thị hàm số $y = \cos x$, tất cả các giá trị của $x \in \left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]$ sao cho $\cos x =  - 1$ là $- 3\pi , - \pi ,\pi ,3\pi$.

b) Các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \cos x$ trên đoạn $\left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]$ là $\left( { - 2\pi ; - \pi } \right),\left( {0;\pi } \right),\left( {2\pi ;3\pi } \right)$.

Vận dụng 2

Giả sử nhiệt độ bên trong một ngôi nhà sau t giờ kể từ 12 giờ trưa, gọi là $T\left( t \right)$, được tính bởi công thức: $T\left( t \right) = 5\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi t}}{6}} \right) + 25\left( {^0C} \right)$, $0 \le t \le 24$.

a) Tìm nhiệt độ bên trong ngôi nhà lúc 12 giờ trưa, 6 giờ tối, 12 giờ đêm theo công thức trên.

b) Theo công thức trên, nhiệt độ cao nhất bên trong ngôi nhà là bao nhiêu?

Phương pháp giải:

a) t giờ được tính kể từ 12 giờ trưa nên t lúc 12 giờ trưa bằng 0, lúc 6 giờ tối bằng 6, lúc 12 giờ đêm bằng 12. Thay t = 0, 6, 12 lần lượt vào công thức.

b) Dựa vào $\cos a \le 1\forall a$ để lập luận.

Lời giải chi tiết:

a) $T\left( 0 \right) = 5\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi .0}}{6}} \right) + 25 = 25\left( {^0C} \right)$

$T\left( 6 \right) = 5\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi .6}}{6}} \right) + 25 = 25\left( {^0C} \right)$

$T\left( {12} \right) = 5\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi .12}}{6}} \right) + 25 = 25\left( {^0C} \right)$

Vậy nhiệt độ bên trong ngôi nhà lúc 12 giờ trưa, 6 giờ tối, 12 giờ đêm đều là ${25^0}C$.

b)

$\begin{array}{l}\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi .12}}{6}} \right) \le 1\forall t\\ \Leftrightarrow 5\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi .12}}{6}} \right) \le 5\forall t\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi .12}}{6}} \right) + 25 \le 30\forall t\end{array}$

Vậy nhiệt độ cao nhất trong nhà là ${30^0}C$.

Hoạt động 9

a) Chép lại và hoàn thành bảng sau:

b) So sánh $\tan \frac{\pi }{6},\tan \frac{\pi }{4}$ và $\tan \frac{\pi }{3}$.

Phương pháp giải:

Thay $x = \frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}$ vào $\tan x$ để tính rồi so sánh.

Lời giải chi tiết:

a)

b) $\tan \frac{\pi }{6} < \tan \frac{\pi }{4} < \tan \frac{\pi }{3}$.

Luyện tập 9

Xác định các khoảng đồng biến của hàm số $y = \tan x$ trên $\left( { - \frac{{3\pi }}{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right\}$.

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị hàm số $y = \tan x$.

Lời giải chi tiết:

Khoảng đồng biến của hàm số $y = \tan x$ trên $\left( { - \frac{{3\pi }}{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right\}$ là $\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right),\left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right),\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)$.

Hoạt động 10

a) Chép lại và hoàn thành bảng sau:

b) So sánh các giá trị của trong bảng trên.

Phương pháp giải:

Thay $x = \frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2},\frac{{2\pi }}{3},\frac{{3\pi }}{4},\frac{{5\pi }}{6}$ vào $\cot x$ để tính rồi so sánh.

Lời giải chi tiết:

a)

b) $\cot \frac{\pi }{6} > \cot \frac{\pi }{4} > \cot \frac{\pi }{3} > \cot \frac{{2\pi }}{3} > \cot \frac{{3\pi }}{4} > \cot \frac{{5\pi }}{6}$

Luyện tập 10

Xác định các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \cot x$ trên $\left( { - 2\pi ;2\pi } \right)\backslash \left\{ { - \pi ;0;\pi } \right\}$.

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị hàm số $y = \cot x$.

Lời giải chi tiết:

Các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \cot x$ trên $\left( { - 2\pi ;2\pi } \right)\backslash \left\{ { - \pi ;0;\pi } \right\}$ là $\left( { - 2\pi ; - \pi } \right),\left( { - \pi ,0} \right),\left( {0;\pi } \right),\left( {\pi ;2\pi } \right)$.