Giải mục 3 trang 54, 55 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

HĐ 3

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1} = a$ và công bội $q \ne 1$

Để tính tổng của n số hạng đầu${S_n} = {u_1} + {u_2} +  \ldots  + {u_{n - 1}} + {u_n}$

Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo ${u_1}$ và q để được biểu thức tính tổng ${S_n}$ chỉ chứa ${u_1}$ và q.

b) Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với q để được biểu thức tính tích $q.{S_n}$ chỉ chứa ${u_1}$ và $q$.

c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở cả a và b và giản ước các số hạng đồng dạng để tính $\left( {1 - q} \right){S_n}$ theo ${u_1}$và $q$. Từ đó suy ra công thức tính ${S_n}$.

Phương pháp giải:

Để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng ${S_n}$, ta dựa vào công thức tính số hạng tổng quát: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$.

Sau đó, ta cộng các số hạng trong dãy số ta được tổng các số hạng ${S_n}$.

Lời giải chi tiết:

a) ${u_2} = {u_1}.q$

${u_3} = {u_1}.{q^2}$

…

${u_{n - 1}} = {u_1}.{q^{n - 2}}$

${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$

${S_n} = {u_1} + {u_1}q +  \ldots  + {u_1}{q^{n - 2}} + {u_1}{q^{n - 1}}$

b) $q{S_n} = q{u_1} + {u_1}{q^2} +  \ldots  + {u_1}{q^{n - 1}} + {u_1}{q^n}$

c) ${S_n} - q{S_n} = \left( {{u_1} + {u_1}q +  \ldots  + {u_1}{q^{n - 2}} + {u_1}{q^{n - 1}}} \right) - (q{u_1} + {u_1}{q^2} +  \ldots  + {u_1}{q^{n - 1}} + {u_1}{q^n})$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1 - q} \right){S_n} = {u_1} - {u_1}{q^n} = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)\\ \Rightarrow {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\end{array}$

CH 2

Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì tổng n số hạng đầu $S_n$ của nó bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải:

Để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng ${S_n}$, ta dựa vào công thức tính số hạng tổng quát: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$.

Sau đó, ta cộng các số hạng trong dãy số ta được tổng các số hạng ${S_n}$.

Lời giải chi tiết:

Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì cấp số nhân là $u_1, u_1, ..., u_1,...$ Khi đó

${S_n} = u_1 + u_1 + ... + u_1 = n . u_1$ (tổng của n số hạng u_1).

VD

Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào làm việc trong thời hạn ba năm và đưa ra hai phương án lựa chọn về lương như sau:

- Phương án 1: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng.

- Phương án 2: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 5%.

Với phương án nào thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn?

Phương pháp giải:

Dựa vào đề bài xác định đâu là cấp số cộng, đâu là cấp số nhân.

Từ đó suy ra công thức tổng quát, thay giá trị n để tính được tổng lương và so sánh.

Lời giải chi tiết:

Theo phương án 1, tiền lương mỗi quý tạo thành cấp số nhân với

${u_1} = 5 \times  3 = 15$, công sai $d = 0,5 \times 3 = 1,5$

Công thức tổng quát ${u_n} = 15 + 1,5\left( {n - 1} \right)$

Sau 3 năm làm việc $\left( {n = 12} \right)$, lương của người nông dân là:

$\frac{{12}}{2}\left[ {2 \times 15 + \left( {12 - 1} \right) \times 1,5} \right] = 279$ (triệu đồng)

Theo phương án 2, tiền lương mỗi quý sẽ tạo thành cấp số nhân với

${u_1} = 5 \times 3 = 15$, công bội $q = 1,05$

Công thức tổng quát ${u_n} = 15 \times 1,{05^{n - 1}}$

Sau 3 năm làm việc $\left( {n = 12} \right),$ lương của người nông dân là:

$\frac{{15\left( {1 - 1,{{05}^{12}}} \right)}}{{1 - 1,05}} = 238,757$ (triệu đồng)

Vậy thì theo phương án 1 thì tổng lương nhận được của người nông dân cao hơn.