Giải mục 3 trang 9 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Hoạt động 3

Cho số thực $a > 0$.

a) Hai biểu thức $\sqrt[6]{{{a^4}}}$ và $\sqrt[3]{{{a^2}}}$ có giá trị bằng nhau không? Giải thích.

b) Chỉ ra ít nhất hai biểu thức khác nhau có giá trị bằng $\sqrt[3]{{{a^2}}}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của căn bậc $n$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\sqrt[6]{{{a^4}}} = \sqrt[{3.2}]{{{a^4}}} = \sqrt[3]{{\sqrt {{a^4}} }} = \sqrt[3]{{\sqrt {{{\left( {{a^2}} \right)}^2}} }} = \sqrt[3]{{\left| {{a^2}} \right|}} = \sqrt[3]{{{a^2}}}$

Vậy $\sqrt[6]{{{a^4}}} = \sqrt[3]{{{a^2}}}$.

b) $\sqrt[3]{{{a^2}}} = \sqrt[9]{{{a^6}}} = \sqrt[{12}]{{{a^8}}}$

Thực hành 3

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) ${25^{\frac{1}{2}}}$;

b) ${\left( {\frac{{36}}{{49}}} \right)^{ - \frac{1}{2}}}$;

c) ${100^{1,5}}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và các tính chất của căn bậc $n$.

Lời giải chi tiết:

a) ${25^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {25}  = \sqrt {{5^2}}  = 5$

b) ${\left( {\frac{{36}}{{49}}} \right)^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{36}}{{49}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{{36}}{{49}}} }} = \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {\frac{6}{7}} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\frac{6}{7}}} = \frac{7}{6}$

c) ${100^{1,5}} = {100^{\frac{3}{2}}} = \sqrt {{{100}^3}}  = \sqrt {{{\left( {{{10}^2}} \right)}^3}}  = \sqrt {{{\left( {{{10}^3}} \right)}^2}}  = {10^3} = 1000$.

Thực hành 4

Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:

a) $\sqrt {{2^3}}$;

b) $\sqrt[5]{{\frac{1}{{27}}}}$;

c) ${\left( {\sqrt[5]{a}} \right)^4}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa luỹ thừa với số mũ hữu tỉ.

Lời giải chi tiết:

a) $\sqrt {{2^3}}  = {2^{\frac{3}{2}}}$

b) $\sqrt[5]{{\frac{1}{{27}}}} = \sqrt[5]{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^3}}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{3}{5}}}$

c) ${\left( {\sqrt[5]{a}} \right)^4} = \sqrt[5]{{{a^4}}} = {a^{\frac{4}{5}}}$