Giải mục 2 trang 114, 115 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Hoạt động 2

Cho mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa hai đường thẳng $a,b$ cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng $\left( Q \right)$. Giả sử $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ có điểm chung $M$ thì $\left( P \right)$ cắt $\left( Q \right)$ theo giao tuyến $c$ (Hình 5).

a) Giải thích tại sao đường thẳng $c$ phải cắt ít nhất một trong hai đường thẳng $a,b$. Điều này có trái với giả thiết $a$ và $b$ cùng song song với $\left( Q \right)$ không?

b) Rút ra kết luận về số điểm chung và vị trí tương đối của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí:

‒ Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$. Nếu mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $a$, cắt $\left( P \right)$ theo giao tuyến $b$ thì $a$ song song với $b$.

‒ Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

‒ Đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ nếu chúng không có điểm chung.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi $I$ là giao điểm của $a$ và $b$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a\parallel \left( Q \right)\\\left( P \right) \supset a\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = c\end{array} \right\} \Rightarrow c\parallel a\\\left. \begin{array}{l}b\parallel \left( Q \right)\\\left( P \right) \supset b\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = c\end{array} \right\} \Rightarrow c\parallel b\end{array}$

Do đó qua $I$ ta kẻ được hai đường thẳng $a$ và $b$ cùng song song với $c$, mâu thuẫn với định lí qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Vậy $c$ phải cắt ít nhất một trong hai đường thẳng $a,b$.

Nếu đường thẳng $c$ cắt đường thẳng $a$ hoặc đường thẳng $b$, mà đường thẳng $c$ nằm trong mặt phẳng $\left( Q \right)$, khi đó đường thẳng $a$ hoặc đường thẳng $b$ có 1 điểm chung với mặt phẳng $\left( Q \right)$. Điều này trái với giả thiết $a$ và $b$ cùng song song với $\left( Q \right)$.

b) Vì $\left( P \right)$ chứa đường thẳng $a$ mà $a$ song song với mặt phẳng $\left( Q \right)$ nên $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ là hai mặt phẳng phân biệt.

Theo chứng minh ở trên, nếu $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ có điểm chung $M$ thì mâu thuẫn với giả thiết $a$ và $b$ cùng song song với $\left( Q \right)$.

Vậy hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ không có điểm chung.

Thực hành 1

Cho tứ diện $ABCD$ có $E,F,H$lần lượt là trung điểm của $AB,AC,AD$. Chứng minh $\left( {EFH} \right)\parallel \left( {BCD} \right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí 1: Nếu mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa hai đường thẳng $a,b$ cắt nhau và hai đường thẳng đó cùng song song với mặt phẳng $\left( Q \right)$ thì $\left( P \right)$ song song với $\left( Q \right)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $E$ là trung điểm của $AB$

$F$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow EF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow EF\parallel BC\\BC \subset \left( {BC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow EF\parallel \left( {BC{\rm{D}}} \right)$

$E$ là trung điểm của $AB$

$H$ là trung điểm của $AD$

$\Rightarrow EH$ là đường trung bình của tam giác $ABD$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow EH\parallel BD\\BD \subset \left( {BC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow EH\parallel \left( {BC{\rm{D}}} \right)$

Ta có:

$\left. \begin{array}{l}EF\parallel \left( {BCD} \right)\\EH\parallel \left( {BCD} \right)\\EF,EH \subset \left( {EFH} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {EFH} \right)\parallel \left( {BCD} \right)$