Giải mục 4 trang 26, 27 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

HĐ 5

Cho hàm số $y = \cos x$

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

b) Hoàn thành bảng giá trị của hàm số $y = \cos x$ trên đoạn $\left[ { - \pi ;\pi } \right]$ bằng cách tính giá trị của $\cos x$ với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của $\cos x$ với những x âm.

Bằng cách lấy nhiều điểm $M\left( {x;\sin x} \right)$ với $x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]$ và nối lại ta được đồ thị hàm số $y = \cos x$ trên đoạn $\left[ { - \pi ;\pi } \right]$.

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kỳ $T = 2\pi$, ta được đồ thị của hàm số $y = \cos x$ như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.15, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \cos x$

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa hàm số chẵn lẻ

Dựa vào đồ thị để xác định tập giá trị, các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Lời giải chi tiết:

a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D

Ta có: $f\left( { - x} \right) = \cos \left( { - x} \right) = \cos x = f\left( x \right),\;\forall x\; \in \;D$

Vậy $y = \cos x$ là hàm số chẵn.

b)

c) Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số $y = \cos x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$, tập giá trị là [-1;1] và đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \pi  + k2\pi ;k2\pi } \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {k2\pi ;\pi  + k2\pi } \right),\;k\; \in \;\mathbb{Z}$

LT

Tìm tập giá trị của hàm số $y =  - 3\cos x.$

Phương pháp giải:

Tập giá trị của hàm số là tập min – max của hàm số trên tập xác định

Lời giải chi tiết:

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$

Vì

$\Rightarrow$ Tập giá trị của hàm số $y =  - 3\cos x$ là $T = \left[ { - 3;3} \right]$.

VD

Trong vật lí, ta biết rằng phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức $x\left( t \right) = A\cos (\omega t + \varphi )$, trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0), $\omega t + \varphi$ là pha dao động tại thời điểm t và $\varphi  \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]$ là pha ban đầu của dao động. Dao động điều hòa này có chu kỳ $T = \frac{{2\pi }}{\omega }$ (tức là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần).

Giả sử một vật dao động điều hòa theo phương trình $x\left( t \right) =  - 5\cos 4\pi t$ (cm).

a) Hãy xác định biên độ và pha ban đầu của dao động.

b) Tính pha của dao động tại thời điểm $t = 2$ (giây). Hỏi trong khoảng thời gian 2 giây, vật thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần?

Phương pháp giải:

Dựa vào phương trình tổng quát để xác định: Biên độ dao động, Pha dao động tại thời điểm t, Pha ban đầu

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: – 5cos 4πt = 5cos(4πt + π).

Biên độ dao động $A =  5 > 0$; Pha ban đầu của dao động: $\varphi  = \pi$

b) Pha dao động tại thời điểm $t = 2$ là $\omega t + \varphi  = 4\pi .2 + \pi = 9\pi$

Chu kỳ $T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{4\pi }} = 0,5$

Trong khoảng thời gian 2 giây, số dao động toàn phần vật thực hiện được là: $\frac{2}{{0,5}} = 4$ (dao động)