Giải mục 5 trang 41, 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

HĐ9

Trả lời câu hỏi Hoạt động 9 trang 41 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ và điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$. Gọi ${M_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ là hình chiếu vuông góc của ${M_0}$ trên $\left( \alpha  \right)$(hình dưới đây).

a) Nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\overrightarrow {{M_1}{M_0}}  = \left( {{x_0} - {x_1};{y_0} - {y_1};{z_0} - {z_1}} \right)$ và $\vec n = \left( {A;B;C} \right)$

b) Tính $\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\vec n$ theo $A$, $B$, $C$, $D$ và toạ độ của ${M_0}$.

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức $\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\vec n} \right|$.

d) Từ các kết quả trên suy ra cách tính $d\left( {{M_0},\left( \alpha  \right)} \right) = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\vec n} \right|}}{{\left| {\vec n} \right|}}$.

Phương pháp giải:

a) Xét vị trí tương đối của giá của hai vectơ $\overrightarrow {{M_1}{M_0}}$ và $\vec n$ và kết luận.

b) Sử dụng công thức tích vô hướng để tính tích $\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\vec n$.

c) Sử dụng công thức nhân của hai vectơ $\vec a.\vec b = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,\vec b} \right)$ để chứng minh rằng $\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\vec n} \right|$.

d) Từ câu c, rút ra nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a) Vectơ pháp tuyến $\vec n$ có giá vuông góc với $\left( \alpha  \right)$. Do ${M_1}$ là hình chiếu của ${M_0}$ trên $\left( \alpha  \right)$ nên ${M_1}{M_0} \bot \left( \alpha  \right)$, suy ra $\overrightarrow {{M_1}{M_0}}$ có giá vuông góc với $\left( \alpha  \right)$.

Hai vectơ $\overrightarrow {{M_1}{M_0}}$ và $\vec n$ cùng có giá vuông góc với $\left( \alpha  \right)$, nên chúng là hai vectơ cùng phương.

b) Ta có:

$\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\vec n = A\left( {{x_0} - {x_1}} \right) + B\left( {{y_0} - {y_1}} \right) + C\left( {{z_0} - {z_1}} \right) = A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} - \left( {A{x_1} + B{y_1} + C{z_1}} \right)$

Do ${M_1} \in \left( \alpha  \right)$ nên $A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D = 0 \Rightarrow D =  - \left( {A{x_1} + B{y_1} + C{z_1}} \right)$.

Như vậy $\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\vec n = A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D$.

c) Ta có $\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\vec n = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\vec n} \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} ,\vec n} \right)$.

Do $\overrightarrow {{M_1}{M_0}}$ và $\vec n$ cùng phương, nên góc giữa hai vectơ này bằng ${0^o}$ (cùng chiều) hoặc ${180^o}$ (ngược chiều).

Dễ thấy rằng $\cos {0^o} = 1$ và $\cos {180^o} =  - 1$. Suy ra $\left| {\cos {0^o}} \right| = \left| {\cos {{180}^o}} \right| = 1$, điều này có nghĩa là $\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} ,\vec n} \right)} \right| = 1$.

Như vậy, $$\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\vec n} \right|.\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} ,\vec n} \right)} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\vec n} \right|$$ .

d) Ta có ${M_1}{M_0} \bot \left( \alpha  \right)$ và ${M_1} \in \left( \alpha  \right)$ nên khoảng cách từ ${M_0}$ đến mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là đoạn thẳng ${M_1}{M_0}$. Suy ra $\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| = {M_1}{M_0} = d\left( {{M_0},\left( \alpha  \right)} \right)$.

Vậy ta có $d\left( {{M_0},\left( \alpha  \right)} \right) = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\vec n} \right|}}{{\left| {\vec n} \right|}}$.

TH7

Trả lời câu hỏi Thực hành 7 trang 42 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

a) Tính chiều cao của hình chóp $O.MNP$ với toạ độ các đỉnh $O\left( {0;0;0} \right)$, $M\left( {2;1;2} \right)$, $N\left( {3;3;3} \right)$, $P\left( {4;5;6} \right)$.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $\left( R \right):8x + 6y + 70 = 0$ và $\left( S \right):16x + 12y - 2 = 0$

Phương pháp giải:

a) Chiều cao của hình chóp $O.MNP$ chính là khoảng cách từ điểm $O$ tới mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$, từ đó tính khoảng cách từ điểm $O$ tới mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$.

b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm nằm trên mặt phẳng này tới mặt phẳng kia. Chọn một điểm nằm trên mặt phẳng $\left( R \right)$ và tính khoảng cách từ điểm đó tới mặt phẳng $\left( S \right)$.

Lời giải chi tiết:

a) Chiều cao của hình chóp $O.MNP$ chính là khoảng cách từ điểm

b) $O$ tới mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ đi qua ba điểm $M\left( {2;1;2} \right)$, $N\left( {3;3;3} \right)$, $P\left( {4;5;6} \right)$ nên có một cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {MN}  = \left( {1;2;1} \right)$ và $\overrightarrow {MP}  = \left( {2;4;4} \right)$.

Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ là:

$\vec n = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {2.4 - 1.4;1.2 - 1.4;1.4 - 2.2} \right) = \left( {4; - 2;0} \right)$

Mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ đi qua $M\left( {2;1;2} \right)$ và có một vectơ pháp tuyến $\vec n = \left( {4; - 2;0} \right)$ nên có phương trình là $4\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y - 1} \right) + 0\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 2y - 6 = 0$.

Khoảng cách từ điểm $O$ tới mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ là:

$d\left( {O,\left( {MNP} \right)} \right) = \frac{{\left| {4.0 - 2.0 - 6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{2\sqrt 5 }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}$.

b) Chọn điểm $M\left( {0; - \frac{{35}}{3};0} \right)$ nằm trên mặt phẳng $\left( R \right)$.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $\left( R \right)$ và $\left( S \right)$, chính là khoảng cách từ $M\left( {0; - \frac{{35}}{3};0} \right)$ đến $\left( S \right)$, bằng:

$d\left( {\left( R \right),\left( S \right)} \right) = d\left( {M,\left( S \right)} \right) = \frac{{\left| {16.0 + 12.\frac{{ - 35}}{3} - 2} \right|}}{{\sqrt {{{16}^2} + {{12}^2}} }} = \frac{{71}}{{10}}$

VD6

Trả lời câu hỏi Vận dụng 6 trang 42 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt 2$, chiều cao bằng $2a$ và $O$ là tâm của đáy. Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ $Oxyz$ như hình dưới đây, tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$.

Phương pháp giải:

Xác định toạ độ các điểm $C$, $S$, $A$, $B$, sau đó viết phương trình mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ rồi sử dụng công thức tính khoảng cách để tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$.

Lời giải chi tiết:

Hình vuông $ABCD$ có cạnh $a\sqrt 2$, nên đường chéo có độ dài $\sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}  = 2a$. Suy ra $OA = OB = OC = \frac{{2a}}{2} = a$.

Chiều cao của hình chóp đều là $2a$, nên $SO = 2a$

Điểm $A$ nằm trên trục $Ox$, $OA = a$ và ${x_A} < 0$ nên ta có $A\left( { - a;0;0} \right)$.

Điểm $B$ nằm trên trục $Oy$, $OB = a$ và ${y_B} > 0$ nên ta có $B\left( {0;a;0} \right)$.

Điểm $C$ nằm trên trục $Ox$, $OC = a$ và ${x_C} > 0$ nên ta có $C\left( {a;0;0} \right)$.

Điểm $S$ nằm trên trục $Oz$, $OS = 2a$ và ${z_S} > 0$ nên ta có $S\left( {0;0;2a} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ đi qua $A\left( { - a;0;0} \right)$, $B\left( {0;a;0} \right)$, $S\left( {0;0;2a} \right)$ nên có phương trình là $\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{a} + \frac{z}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow  - 2x + 2y + z = 2a \Leftrightarrow  - 2x + 2y + z - 2a = 0$.

Khoảng cách từ $C\left( {a;0;0} \right)$ đến mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ là:

$d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2.a + 2.0 + 0 - 2a} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{4a}}{3}$