Lý thuyết Định lí Viète và ứng dụng Toán 9 Cánh diều

1. Định lí Viète

Nếu ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ thì

${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}$ ; ${x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.$

Ví dụ: Phương trình $2{x^2} + 11x + 7 = 0$ có: $\Delta = {11^2} - 4.2.7 = 65 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ .

Theo định lí Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = - \frac{{11}}{2};{x_1}{x_2} = \frac{7}{2}$ .

Nhận xét:

Xét phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ $\left( {a \ne 0} \right)$ :

- Nếu $ac < 0$ thì $\Delta = {b^2} - 4ac > 0$ , do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

- Nếu $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm là ${x_1} = 1$ , còn nghiệm kia là ${x_2} = \frac{c}{a}$ .

- Nếu $a - b + c = 0$ thì phương trình có nghiệm là ${x_1} = - 1$ , còn nghiệm kia là ${x_2} = - \frac{c}{a}$ .

Ví dụ: Phương trình ${x^2} + 3572x - 3573 = 0$ có $a = 1 > 0,c = - 3573 < 0$ , suy ra a và c trái dấu. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình ${x^2} - 6x + 5 = 0$ có $a + b + c = 1 + \left( { - 6} \right) + 5 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm: ${x_1} = 1,{x_2} = 5$ .

Phương trình $5{x^2} + 14x + 9 = 0$ có $a - b + c = 5 - 14 + 9 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm: ${x_1} = - 1,{x_2} = - \frac{9}{5}$ .

2 . Tìm hai số khi biết tổng và tích

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai:

${x^2} - Sx + P = 0$ .

Điều kiện để có hai số đó là ${S^2} - 4P \ge 0$ .

Ví dụ: Hai số có tổng bằng 9, tích bằng 20 là nghiệm của phương trình ${x^2} + 9x + 20 = 0$ .

Ta có: $\Delta = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.1.20 = 1,\sqrt \Delta = 1$ .

Suy ra phương trình có hai nghiệm ${x_1} = \frac{{9 - 1}}{2} = 4;{x_2} = \frac{{9 + 1}}{2} = 5$ .

Vậy hai số cần tìm là 4 và 5.

Cùng chủ đề:

Lý thuyết Định lí Viète và ứng dụng Toán 9 Cánh diều