Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Cùng khám phá
1. Định nghĩa
1. Định nghĩa
|
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. +) Số M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) ≤ M với mọi x∈D và tồn tại x0∈D sao cho f(x0) = M. Kí hiệu M = max hoặc M = \mathop {\max }\limits_D f(x). +) Số m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) \ge m với mọi x \in D và tồn tại {x_0} \in D sao cho f({x_0}) = m. Kí hiệu m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x) hoặc m = \mathop {\min }\limits_D f(x). |
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} .
Tập xác định của hàm số là \left[ { - 1;1} \right].
Ta có:
- f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} \ge 0; dấu bằng xảy ra khi 1 - {x^2} = 0, tức x = -1 hoặc x = 1.
Do đó \mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} f(x) = f( - 1) = f(1) = 0.
- f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} \le 1; dấu bằng xảy ra khi 1 - {x^2} = 1, tức x = 0.
Do đó \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} f(x) = f(0) = 1.
2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
|
Các bước tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên đoạn \left[ {a;b} \right]:
|
Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = {x^4} - 4{x^2} + 3 trên đoạn \left[ {0;4} \right].
Ta có: y' = 4{x^3} - 8x = 4x({x^2} - 2);y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 hoặc x = \sqrt 2 (vì x \in \left[ {0;4} \right]).
y(0) = 3; y(4) = 195; y(\sqrt 2 ) = -1.
Do đó: \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(4) = 195; \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(\sqrt 2 ) = - 1.
