Lý thuyết Khoảng cách - Toán 11 Cánh diều — Không quảng cáo

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng $\Delta$ và điểm $M$ không thuộc $\Delta$. Gọi $H$ là hình chiếu của điểm $M$ trên đường thẳng $\Delta$. Độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$, kí hiệu $d(M,\Delta )$.

Chú ý: Khi điểm $M$ thuộc đường thẳng $\Delta$ thì $d(M,\Delta ) = 0.$

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho mặt phẳng $(P)$ và điểm $M$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $(P)$. Độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$, kí hiệu $d(M,(P))$.

Chú ý: Khi điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$ thì $d(M,(P)) = 0.$

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $\Delta ,\Delta '$ là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia, kí hiệu $d\left( {\Delta ,{\Delta ^\prime }} \right)$.

Ví dụ: Trong hình dưới đây, ta có: $d\left( {\Delta ,{\Delta ^\prime }} \right) = AB$ với $A \in \Delta$, $B \in {\Delta ^\prime },AB \bot \Delta ,AB \bot {\Delta ^\prime }$ và $\Delta //{\Delta ^\prime }$.

4. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho đường thẳng $\Delta$ song song với mặt phẳng $(P)$. Khoảng cách giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng $\Delta$ đến mặt phẳng $(P)$, kí hiệu $d(\Delta ,(P))$.

Ví dụ: Trong hình dưới đây, ta có: $d(\Delta ,(P)) = M{M^\prime } = h$, trong đó $M \in \Delta ,{M^\prime } \in (P),M{M^\prime } \bot (P)$ và $\Delta //(P)$.

5. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P),(Q)$ là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, kí hiệu $d((P),(Q))$.

Ví dụ: Trong hình dưới đây, ta có: $d((P),(Q)) = IK = h$ với $I \in (P),K \in (Q),IK \bot (P),IK \bot (Q)$ và $(P)//(Q)$.

6. Khoảng cách giữa hai đưò̀ng thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau.

- Đường thẳng c vừa vuông góc, vừa cắt cả hai đường thẳng a và b được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

- Đoạn thẳng có hai đầu mút là giao điểm của đường thẳng c với hai đường thẳng a, b được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

- Độ dài đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng a, b gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng đó, kí hiệu $d(a,b)$.

Ví dụ: Trong hình dưới đây, ta có: $d(a,b) = HK$ với HK là đoạn vuông góc chung của $a$ và $b$.