Lý thuyết Phép tính lôgarit - Toán 11 Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

1. Khái niệm lôgarit

Cho hai số thực dương a, b với $a \ne 1$. Số thực $\alpha$ thỏa mãn đẳng thức ${a^\alpha } = b$ được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là ${\log _a}b$.

$\alpha  = {\log _a}b \Leftrightarrow {a^\alpha } = b$.

Chú ý:

Từ định nghĩa, ta có:

• ${\log _a}1 = 0;\,\,\,{\log _a}a = 1;\,\,{\log _a}{a^b} = b;\,\,\,{a^{{{\log }_a}b}} = b$.
• ${\log _{10}}b$ được viết là $\log b$ hoặc $\lg b$;
• ${\log _e}b$ được viết là $\ln b$.

2. Tính chất

Với $a > 0,a \ne 1,M > 0,N > 0$, ta có:

• ${\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N$ (lôgarit của một tích)
• ${\log _a}\left( {\frac{M}{N}} \right) = {\log _a}M - {\log _a}N$ (lôgarit của một thương)
• ${\log _a}{M^\alpha } = \alpha {\log _a}M\,\left( {\alpha  \in \mathbb{R}} \right)$ (lôgarit của một lũy thừa)

Chú ý: Đặc biệt, ta có:

• ${\log _a}\frac{1}{N} =  - {\log _a}N;$
• ${\log _a}\sqrt[n]{M} = \frac{1}{n}{\log _a}M$ với $n \in \mathbb{N}*$.

3. Công thức đổi cơ số

Cho các số dương a, b, N, $a \ne 1,b \ne 1$, ta có:

${\log _a}N = \frac{{{{\log }_b}N}}{{{{\log }_b}a}}$.

Đặc biệt, ta có:

${\log _a}N = \frac{1}{{{{\log }_N}a}}\left( {N \ne 1} \right)$;   ${\log _{{a^\alpha }}}N = \frac{1}{\alpha }{\log _a}N\left( {\alpha  \ne 0} \right)$.