Lý thuyết Phép tính lũy thừa - Toán 11 Chân trời sáng tạo
1. Lũy thừa với số mũ nguyên - Lũy thừa với số mũ nguyên dương:
1. Lũy thừa với số mũ nguyên
- Lũy thừa với số mũ nguyên dương:
\({a^n} = \underbrace {a.a.a...a}_{n\,thừa\,số}\left( {a \in \mathbb{R},n \in \mathbb{N}*} \right)\).
- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, số mũ 0:
\({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}};{a^0} = 1\left( {n \in \mathbb{N}*,a \in \mathbb{R},a \ne 0} \right)\).
2. Căn bậc n
Cho số thực b và số nguyên \(n \ge 2\).
- Số a là căn bậc n của số b nếu \({a^n} = b\).
- Sự tồn tại căn bậc n:
+ Nếu n lẻ thì có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu \(\sqrt[n]{b}\).
+ Nếu n chẵn thì:
- b < 0: không tồn tại căn bậc n của b.
- b = 0: có một căn bậc n của b là 0.
- b > 0: có hai căn bậc n của b đối với nhau, kí hiệu giá trị dương là \(\sqrt[n]{b}\) và giá trị âm là \( - \sqrt[n]{b}\).
+ Các tính chất:
- \(\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{ab}}\)
- \(\frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\frac{a}{b}}}\)
- \({\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\)
- \(\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}\)
3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho số thực dương a và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m,n \in \mathbb{Z},n > 0\). Ta có:
\({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\)
4. Lũy thừa với số mũ vô tỉ
Giả sử a là một số dương, \(\alpha \) là một số vô tỉ và \(\left( {{r_n}} \right)\) là một dãy số hữu tỉ sao cho \(\lim {r_n} = \alpha \). Khi đó \({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } = {a^{{r_n}}}\).
5. Tính chất của phép tính lũy thừa
Cho a, b là những số thực dương; \(\alpha ;\beta \) là những số thực bất kì. Khi đó:
\(\begin{array}{l}{a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }};\\\frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha - \beta }};\\{\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }};\\{\left( {ab} \right)^\alpha } = {a^\alpha }.{b^\alpha };\\{\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}.\end{array}\)
