Toán nâng cao 5 - Các bài toán về dãy số, quy luật dãy số — Không quảng cáo

PHẦN 1: CÁC DẠNG BÀI TẬP

DẠNG 1: TÌM QUY LUẬT CỦA DÃY SỐ

Ví dụ 1: Viết tiếp ba số hạng của dãy số sau:

a) 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ;….

b) 0; 2; 4; 6; 12; 22; …..

c) 2 ; 7 ; 13 ; 20 ; …..

Giải

a) Nhận xét:

Số hạng thứ ba của dãy số là: 3 = 1 + 2

Số hạng thứ tư của dãy số là 5 = 2 + 3

Số hạng thứ năm của dãy số là 8 = 3 + 5

Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó.

Áp dụng quy luật này, ta có các số hạng tiếp theo là:

8 + 13 = 21

13 + 21 = 34

21 + 34 = 55

Vậy ta được dãy số là: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

b) Số hạng thứ tư của dãy số là: 6 = 0 + 2 + 4

Số hạng thứ năm của dãy số là 12 = 2 + 4 + 6

Số hạng thứ sáu của dãy số là 22 = 4 + 6 + 12

Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của 3 số hạng đứng liền trước nó.

Áp dụng quy luật này ta có:

Số hạng thứ bảy là 6 + 12 + 22 = 40

Số hạng thứ tám là 12 + 22 + 40 = 74

Số hạng thứ chín của dãy số là 22 + 40 + 74 = 136

Dãy số đã cho còn viết là: 0; 2; 4; 6; 12; 22; 40 ; 74 ; 136 ; …..

c) Ta có: 7 = 2 + 2 + 3

13 = 7 + 3 + 3

20 = 13 + 4 + 3

Quy luật: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với số chỉ thứ tự của số hạng đó rồi cộng với 3.

Số hạng thứ năm là: 20 + 5 + 3 = 28

Số hạng thứ sáu là: 28 + 6 + 3 = 37

Số hạng thứ bảy là 37 + 7 + 3 = 47

Dãy số đã cho còn viết là 2 ; 7 ; 13 ; 20 ; 28 ; 37 ; 47 ; …..

Ví dụ 2: Viết tiếp ba số hạng vào dãy số sau: 1 ; 2 ; 6 ; 24 ; ….

Nhận xét:

Số hạng thứ hai của dãy số là: 2 = 1 x 2

Số hạng thứ ba của dãy số là: 6 = 2 x 3

Số hạng thứ tư của dãy số là: 24 = 6 x 4

Quy luật: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số đứng liền trước nó nhân với số chỉ thứ tự của số hạng đó.

Vậy các số tiếp theo là:

24 x 5 = 120

120 x 6 = 720

720 x 7 = 5040

Dãy số đã cho còn viết là:

1; 2 ; 6; 24 ; 120 ; 720 ; 5040 ; …

Ví dụ 3: Tìm số hạng thứ 50 của dãy số sau:

a) 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; …..

b) …. ; 390 ; 395 ; 400 (biết dãy số có 80 số hạng)

Giải

a) Nhận xét:

Số hạng thứ hai của dãy số là: 4 = 1 + 3 x (2 – 1)

Số hạng thứ ba của dãy số là: 7 = 1 + 3 x (3 – 1)

Số hạng thứ tư của dãy số là: 10 = 1 + 3 x (4 – 1)

……

Số hạng thứ n của dãy số là: 1 + 3 x (n – 1)

Vậy số hạng thứ 50 của dãy số là:

1 + 3 x (50 – 1) = 148

b) Quy luật:

Số thứ 80 của dãy số là 400 = 80 x 5

Số thứ 79 của dãy số là 395 = 79 x 5

Số thứ 78 của dãy số là 390 = 78 x 5

……

Số thứ n của dãy số là n x 5

Vậy số hạng thứ 50 của dãy số là 50 x 5 = 250

DẠNG 2: XÁC ĐỊNH SỐ A CÓ THUỘC DÃY SỐ ĐÃ CHO HAY KHÔNG

Phương pháp:

- Tìm quy luật của dãy số

- Kiểm tra số a có thỏa mãn quy luật đó hay không

Ví dụ 1: Cho dãy số: 2, 5 , 8, 11, 14, 17, ….

a) Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số trên.

b) Số 2008 có thuộc dãy số trên không? Tại sao?

Giải:

a) Ta thấy:

2 + 3 = 5

5 + 3 = 8

8 + 3 = 11

….

Quy luật: Kể từ số thứ hai trở đi, mỗi số hạng bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với 3 đơn vị.

Vậy 3 số hạng tiếp theo của dãy số là: 17 + 3 = 20 ; 20 + 3 = 23 ; 23 + 3 = 26

Dãy số trên được viết là 2, 5 , 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, ….

b) Ta thấy 2 : 3 = dư 2

5 : 3 = 1 dư 2

8 : 3 = 2 dư 2

….

Quy luật: Dãy số trên gồm các số hạng khi chia cho 3 đều dư 2.

Mà 2008 : 3 = 669 dư 1.

Vậy dãy số 2008 không thuộc dãy số trên.

Ví dụ 2: Hãy cho biết:

a) Các số 50 và 133 có thuộc dãy số 90 ; 95 ; 100 ; … hay không?

b) Số nào trong các số 666, 1000 và 9999 thuộc dãy số 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; ….? Giải thích tại sao?

Giải

a) Cả hai số 50 và 133 đều không thuộc dãy số đã cho, vì:

- Các số hạng của dãy số đã cho đều lớn hơn 50.

- Các số hạng của dãy số đã cho đều chia hết cho 5, mà 133 : 5 = 26 dư 3

b)

- Mỗi số hạng kể từ số thứ hai bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với 2. Nên các số trong dãy kể từ số thứ hai đều là số chẵn.

Mà 666 : 2 = 333 là số lẻ. Vậy số 666 không thuộc dãy số trên.

- Các số hạng của dãy số đều chia hết cho 3. Mà 1000 không chia hết cho 3.

Vậy số 1000 không thuộc dãy số trên.

- Các số hạng của dãy số kể từ số hạng thứ hai đều là số chẵn.

Vậy số 9999 không thuộc dãy số trên.

DẠNG 3: TÌM SỐ SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ

Phương pháp

Đối với bài toán này, ta thường sử dụng công thức về toán trồng cây:

Số số hạng của dãy số = Số khoảng cách + 1

Nếu quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với một số tự nhiên không đổi thì:

Số số hạng của dãy số = (Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1

Ví dụ 1: Cho dãy số 11 ; 14 ; 17 ; 20 ; …. ; 68

a) Dãy số trên có bao nhiêu số hạng?

b) Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số đó thì số hạng thứ 2007 là số nào?

Giải

a) Số số hạng của dãy số là

(68 – 11) : 3 + 1 = 20 (số hạng)

b) Số hạng thứ 2 của dãy số là: 14 = 11 + 3 x (2 – 1)

Số hạng thứ 3 của dãy số là 17 = 11 + 3 x (3 – 1)

Số hạng thứ 4 của dãy số là 20 = 11 + 3 x (4 – 1)

……

Vậy số hạng thứ 2007 của dãy số là 11 + 3 x (2007 – 1) = 6029

Ví dụ 2: Cho dãy số: 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; ….. ; 2018

Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?

Giải:

Số số hạng của dãy số là

(2018 – 2) : 2 + 1 = 1009 (số)

Ví dụ 3 : Trong các số có 3 chữ số:

a) Có bao nhiêu số chẵn chia hết cho 9?

b) Có bao nhiêu số chia cho 4 dư 1?

Giải

a) Các số chẵn có ba chữ số chia hết cho 9 là 108 ; 126 ; ….. ; 990

Khoảng cách giữa hai số liền nhau là 18 đơn vị.

Số các số chẵn có ba chữ số chia hết cho 9 là

(990 – 108) : 18 + 1 = 50 (số)

b) Các số có ba chữ số chia cho 4 dư 1 là 101 ; 105 ; 109 ; …. ; 997

Khoảng cách giữa hai số liền nhau là 4.

Số các số có ba chữ số chia cho 4 dư 1 là:

(997 – 101) : 4 + 1 = 225 (số)

DẠNG 4: TÍNH TỔNG CÁC SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ

Kiến thức cần lưu ý:

Tổng của dãy số cách đều = (số hạng đầu + số hạng cuối) x số số hạng : 2

Ví dụ 1: Tính giá trị của A biết:

A = 1 + 2 + 3 + 4 + …. + 1996

Giải

Dãy số trên có số số hạng là

(1996 – 1) : 1 + 1 = 1996 (số hạng)

Giá trị của A là

(1 + 1996) x 1996 : 2 = 1 993 006

Ví dụ 2: Tính giá trị của B biết:

B = 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 299

Giải

Dãy số trên có số số hạng là

(299 – 1) : 2 + 1 = 150 (số hạng)

Giá trị của B là

(1 + 299) x 150 : 2 = 22500

DẠNG 5: BÀI TOÁN ĐÁNH SỐ TRANG SÁCH, DÃY CHỮ

Ví dụ 1 : Một người viết liên tiếp nhóm chữ: TO QUOC VIET NAM thành dãy:

TOQUOCVIETNAMTOQUOCVIETNAM ……

a) Chữ cái thứ 2007 trong dãy là chữ gì?

b) Nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu chữ O, bao nhiêu chữ I?

c) Bạn An đếm được trong dãy có 2007 chữ O. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay đếm sai?

d) Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím , vàng, …. Hỏi chữ cái thứ 2007 trong dãy được tô màu gì?

Giải:

a) Nhóm chữ TO QUOC VIET NAM có 13 chữ cái.

2007 : 13 = 154 dư 5

Vậy chữ cái thứ 2007 trong dãy là chữ thứ năm. Chữ đó là O.

b) Mỗi nhóm chữ TO QUOC VIET NAM có 2 chữ T và cũng có 2 chữ O và 1 chữ I.

Vì vậy, nếu người ta đếm được 50 chữ T thì trong dãy đó cũng có 50 chữ O và 25 chữ I.

c) Bạn ấy đếm sai  vì chữ O trong dãy phải là số chẵn.

d) Ta có 2007 : 4 = 501 (dư 3)

Vậy chữ cái thứ 2007 trong dãy là chữ cái thứ 3. Chữ đó được tô màu tím.

Ví dụ 2: Một quyển sách có 256 trang. Hỏi để đánh số trang của quyển sách đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số?

Giải:

Từ trang 1 đến trang 9 có 9 trang: có 9 x 1 = 9 chữ số

Từ trang 10 đến trang 99 có 90 trang: có 90 x 2 = 180 chữ số

Từ trang 100 đến trang 256 có 157 trang: có 157 x 3 = 471 chữ số

Vậy để đánh số trang của quyển sách đó người ta phải dùng:

9 + 180 + 471 = 660 (chữ số)

Đáp số: 660 chữ số

Ví dụ 3 : Để đánh số trang của một cuốn sách người ta phải dùng tất cả 645 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang?

Giải

Để đánh số trang của 1 cuốn sách, người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1, 2, 3, 4, …..

Từ trang 1 đến trang 9 có 9 trang: cần 9 x 1 = 9 chữ số

Từ trang 10 đến trang 99 có 90 trang: cần 90 x 2 = 180 chữ số

Số chữ số còn lại là

645 – (9 + 180) = 456 (chữ số)

Số trang được đánh bằng số có 3 chữ số là

456 : 3 = 152 (trang)

Quyển sách có số trang là

9 + 90 + 152 = 251 (trang)

Đáp số: 251 trang

PHẦN 2: BÀI TẬP TỰ LUYỆN