Bài 1 trang 81 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Toán 11, giải toán lớp 11 chân trời sáng tạo Bài 4. Khoảng cách trong không gian Toán 11 Chân trời s


Bài 1 trang 81 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp (S.ABCD), đáy (ABCD) là hình thoi cạnh (a) có (O) là giao điểm của hai đường chéo

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) có \(O\) là giao điểm của hai đường chéo, \(\widehat {ABC} = {60^ \circ },SO \bot \left( {ABCD} \right),SO = a\sqrt 3 \). Tính khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Tính khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

Kẻ \(OI \bot C{\rm{D}}\left( {I \in C{\rm{D}}} \right),OH \bot SI\left( {H \in SI} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot C{\rm{D}}\\OI \bot C{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow C{\rm{D}} \bot \left( {SOI} \right)\\\left. \begin{array}{l} \Rightarrow C{\rm{D}} \bot OH\\OH \bot SI\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot \left( {SC{\rm{D}}} \right)\\ \Rightarrow d\left( {O,\left( {SC{\rm{D}}} \right)} \right) = OH\end{array}\)

\(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AC = a \Rightarrow OC = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}\)

\(\Delta ABD\) có \(\widehat {BA{\rm{D}}} = {120^ \circ } \Rightarrow B{\rm{D}} = \sqrt {A{B^2} + A{{\rm{D}}^2} - 2{\rm{A}}B.A{\rm{D}}}  = a\sqrt 3  \Rightarrow OD = \frac{1}{2}B{\rm{D}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(\Delta OCD\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OI\)

\( \Rightarrow OI = \frac{{OC.O{\rm{D}}}}{{C{\rm{D}}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

\(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OI \Rightarrow \Delta SOI\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OH\)

\( \Rightarrow OH = \frac{{SO.OI}}{{\sqrt {S{O^2} + O{I^2}} }} = \frac{{a\sqrt {51} }}{{17}}\)

Vậy \(d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH = \frac{{a\sqrt {51} }}{{17}}\).


Cùng chủ đề:

Bài 1 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 1 trang 64 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Bài 1 trang 69 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 1 trang 73 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Bài 1 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 1 trang 81 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Bài 1 trang 84 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 1 trang 85 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 1 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Bài 1 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Bài 1 trang 93 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo