Bài 1 trang 84 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Xét tính liên tục của hàm số:
Đề bài
Xét tính liên tục của hàm số:
a) f(x)={x2+1khix≥01−xkhix<0 tại điểm x=0.
b) f(x)={x2+2khix≥1xkhix<1 tại điểm x=1.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0.
Bước 1: Kiểm tra x0 thuộc tập xác định không. Tính f(x0).
Bước 2: Tính lim (nếu có).
Bước 3: Kết luận:
• Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) thì hàm số liên tục tại điểm {x_0}.
• Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right) hoặc không tồn tại \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) thì hàm số không liên tục tại điểm {x_0}.
Lời giải chi tiết
a) Dễ thấy x = 0 thuộc tập xác định của hàm số.
f\left( 0 \right) = {0^2} + 1 = 1
Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = {0^2} + 1 = 1
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {1 - x} \right) = 1 - 0 = 1
Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 1 nên \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 1 = f\left( 0 \right).
Vậy hàm số liên tục tại điểm x = 0.
b)Dễ thấy x = 1 thuộc tập xác định của hàm số.
f\left( 1 \right) = {1^2} + 2 = 3
Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 2} \right) = {1^2} + 2 = 3
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x = 1
Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) nên không tồn tại \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right).
Vậy hàm số không liên tục tại điểm x = 1.