Bài 1 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho tứ diện đều (ABCD). Vẽ hình bình hành (BCED).
Đề bài
Cho tứ diện đều \(ABCD\). Vẽ hình bình hành \(BCED\).
a) Tìm góc giữa đường thẳng \(AB\) và \(\left( {BCD} \right)\).
b) Tim góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,CD,B} \right];\left[ {A,CD,E} \right]\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.
‒ Cách xác định góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,d,B} \right]\): Dựng mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(d\), gọi \(a,a'\) lần lượt là giao tuyến của \(\left( P \right)\) với hai nửa mặt phẳng chứa \(A,B\), khi đó \(\left[ {A,d,B} \right] = \left( {a,a'} \right)\).
Lời giải chi tiết
a) Giả sử tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng \(a\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\), \(O\) là tâm của \(\Delta BC{\rm{D}}\)
\( \Rightarrow AO \bot \left( {BC{\rm{D}}} \right)\)
\( \Rightarrow \left( {AB,\left( {BC{\rm{D}}} \right)} \right) = \left( {AB,OB} \right) = \widehat {ABO}\)
\(BI\) là trung tuyến của tam giác đều \(BC{\rm{D}}\)
\( \Rightarrow BI = \frac{{BC\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BO = \frac{2}{3}BI = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\(\cos \widehat {ABO} = \frac{{BO}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \widehat {ABO} \approx 54,{7^ \circ }\)
Vậy \(\left( {AB,\left( {BC{\rm{D}}} \right)} \right) \approx 54,{7^ \circ }\)
b) \(\Delta AC{\rm{D}}\) đều \( \Rightarrow AI \bot C{\rm{D}}\)
\(\Delta BC{\rm{D}}\) đều \( \Rightarrow BI \bot C{\rm{D}}\)
Vậy \(\widehat {AIB}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,C{\rm{D}},B} \right]\).
\(OI = \frac{1}{3}BI = \frac{{a\sqrt 3 }}{6},AO = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
\(\tan \widehat {AIB} = \frac{{AO}}{{OI}} = 2\sqrt 2 \Rightarrow \widehat {AIB} \approx 70,{5^ \circ }\)
\(\Delta AC{\rm{D}}\) đều \( \Rightarrow AI \bot C{\rm{D}}\)
\(\Delta EC{\rm{D}}\) đều \( \Rightarrow EI \bot C{\rm{D}}\)
Vậy \(\widehat {AIE}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,C{\rm{D}},B} \right]\).
\(\widehat {AIE} = {180^ \circ } - \widehat {AIB} = 109,{5^ \circ }\)