Bài 2. 17 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Toán 11, giải toán 11 cùng khám phá Bài tập cuối chương 2 Toán 11 Cùng khám phá


Bài 2.17 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Xét tính tăng, giảm của các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:

Đề bài

Xét tính tăng, giảm của các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:

a) \({u_n} = 3 - \frac{2}{n};\)

b) \({u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^n}}};\)

c) \({u_n} = \frac{{n + 5}}{{2n - 1}};\)

d) \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.n!.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nếu \({u_{n + 1}} > {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì là dãy số tăng.

Nếu \({u_{n + 1}} < {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì là dãy dãy số giảm.

Lời giải chi tiết

a)

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = 3 - \frac{2}{{n + 1}} - 3 + \frac{2}{n} = 2\left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right) > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

b)

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} - 1 - \frac{1}{{{2^n}}} = \frac{1}{{{2^n}}}\left( {\frac{1}{2} - 1} \right) =  - \frac{1}{2}.\frac{1}{{{2^n}}} < 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

c)

\(\begin{array}{l}{u_n} = \frac{{n + 5}}{{2n - 1}} = \frac{1}{2} + \frac{{\frac{{11}}{2}}}{{2n - 1}}\\{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{2} + \frac{{\frac{{11}}{2}}}{{2n + 1}} - \frac{1}{2} - \frac{{\frac{{11}}{2}}}{{2n - 1}} = \frac{{11}}{2}\left( {\frac{1}{{2n + 1}} - \frac{1}{{2n - 1}}} \right) < 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

d)

\(\begin{array}{l}\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.\left( { - 1} \right).n!\left( {n + 1} \right)}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}} =  - \left( {n + 1} \right) < 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.


Cùng chủ đề:

Bài 2. 12 trang 55 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Bài 2. 13 trang 55 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Bài 2. 14 trang 55 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Bài 2. 15 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Bài 2. 16 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Bài 2. 17 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Bài 2. 18 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Bài 2. 19 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Bài 2. 20 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Bài 2. 21 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Bài 2. 22 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá