Bài 2 trang 115 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Cho hình chóp đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a.
Đề bài
Cho hình chóp đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a.
a) Chứng minh rằng các tam giác ASC và BSD là tam giác vuông cân.
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, chứng minh rằng đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
c) Chứng minh rằng góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 45∘.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh tam giác có 2 cạnh bằng nhau và có một góc vuông.
b) Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.
c) Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
a) ABCD là hình vuông ⇒AC=BD=√AB2+BC2=a√2
Xét ΔASC có: SA2+SC2=2a2=AC2,SA=SC
Vậy tam giác ASC là tam giác vuông cân tại S.
Xét ΔBSD có: SB2+SD2=2a2=BD2,SB=SD
Vậy tam giác BSD là tam giác vuông cân tại S.
b) ΔASC vuông cân tại S ⇒SO⊥AC
ΔBSD vuông cân tại S ⇒SO⊥BD
⇒SO⊥(ABCD)
c) SO⊥(ABCD)⇒(SA,(ABCD))=(SA,OA)=^SAO
ΔASC vuông cân tại S ⇒^SAO=45∘
Vậy (SA,(ABCD))=45∘.