Bài 38 trang 24 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong $1$ giờ $20$ phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong $10$ phút và vòi thứ hai trong $12$ phút thì chỉ được $\dfrac{2}{15}$ bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu ?

Lời giải chi tiết

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là: $x$ phút, vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là: $y$ phút. (Điều kiện $x > 80, y > 80$ ).

Trong $1$ phút vòi thứ nhất chảy được $\dfrac{1}{x}$ bể, vòi thứ hai chảy được $\dfrac{1}{y}$ bể.

Nên trong $1$ phút cả hai vòi chảy được $\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y}$ (bể).

Theo đề bài, cả hai vòi cùng chảy thì sau $1$ giờ $20$ phút = $80$ phút thì đầy bể nên trong $1$ phút cả hai vòi chảy được: $\dfrac{1}{80}$  (bể).

Do đó ta có phương trình: $\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{80}$  (1)

Trong $10$ phút vòi thứ nhất chảy được $10.\dfrac{1}{x}$ bể, trong $12$ phút vòi thứ hai chảy được $12. \dfrac{1}{y}$ bể thì được $\dfrac{2}{15}$ bể, ta có phương trình:

$10. \dfrac{1}{x} + 12. \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{15}$  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{80}& & \\ 10. \dfrac{1}{x} + 12. \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{15} & & \end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{x} =a  & & \\ \dfrac{1}{y}=b & & \end{matrix}\right.$ ; ($a,\ b \ne 0$ )

Hệ đã cho trở thành:

$\left\{\begin{matrix} a+ b = \dfrac{1}{80}& & \\ 10. a + 12. b = \dfrac{2}{15} & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 10a+ 10b = \dfrac{10}{80}& & \\ 10a + 12 b = \dfrac{2}{15} & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 10a+ 10b = \dfrac{1}{8}& & \\ 10a + 12 b = \dfrac{2}{15} & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2b = \dfrac{1}{120}& & \\ 10a + 12 b = \dfrac{2}{15} & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b = \dfrac{1}{240}& & \\ 10a  = \dfrac{2}{15}-12b & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b = \dfrac{1}{240}& & \\ 10a  = \dfrac{2}{15}-12.\dfrac{1}{240}  & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b = \dfrac{1}{240}& & \\ a  = \dfrac{1}{120}  & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.$

Suy ra  $\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{120} & & \\ \dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{240} & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 120 & & \\ y=240 & & \end{matrix}\right.$ (thỏa mãn)

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình trong $120$ phút (2 giờ) thì đầy bể, vòi thứ hai chảy một mình trong $240$ phút (4 giờ) thì đầy bể.