Bài 38 trang 82 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung $AC, CD, DB$ sao cho

$sđ\overparen{AC}=sđ\overparen{CD}=sđ\overparen{DB}=60^0$. Hai đường thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $E$. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $T$. Chứng minh rằng:

a) $\widehat {AEB}=\widehat {BTC}$;

b) $CD$ là phân giác của $\widehat{BCT}.$

Lời giải chi tiết

a) Xét đường tròn $(O)$ có $sđ\overparen{AC}=sđ\overparen{CD}=sđ\overparen{DB}=60^0$ nên $sđ\overparen{AB}=sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{CD}+sđ\overparen{DB}$$=60^0+60^0+60^0=180^0.$

Ta có $\widehat{AEB}$ là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn chắn cung $CD$ và $AB$ nên:

$\displaystyle \widehat{AEB}=\dfrac{sđ\overparen{AB}- sđ\overparen{CD}}{2}={{{{180}^0 - {{60}^0}}} \over 2} = {60^0}.$

và $\widehat{BTC}$ cũng là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn chắn cung $BC$ lớn và $BC$ nhỏ (hai cạnh đều là tiếp tuyến của đường tròn) nên:

$\widehat{BTC}=\dfrac{sđ\overparen {BAC}-sđ\overparen{BDC}}{2}$$\displaystyle = {{({{180}^0} + {{60}^0}) - ({{60}^0} + {{60}^0})} \over 2} = {60^0}.$

Vậy $\widehat {AEB} =\widehat {BTC}=60^0.$

b) Xét đường tròn $(O)$ có:

$\widehat {DCT}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung $CD$ nên:

$\widehat {DCT}=\dfrac{sđ\overparen{CD}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0.$

$\widehat {DCB}$ là góc nội tiếp chắn cung $BD$ nên: $\displaystyle \widehat {DCB}=\dfrac{sđ\overparen{DB}}{2}={{{{60}^0}} \over 2} = {30^0}.$

Vậy  $\widehat {DCT}=\widehat {DCB}=30^0$ $= \dfrac{1}{2}$. $\widehat {BCT}$ hay  $CD$ là phân giác của $\widehat {BCT}.$