Bài 4.42 trang 103 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AA’. a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B‘C b) Gọi K là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B’C. Tính tỉ số (frac{{KB'}}{{KC}})
Đề bài
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AA’ .
a) Xác định giao điểm của mặt phẳng ( MNP ) với đường thẳng B‘C.
b) Gọi K là giao điểm của mặt phẳng ( MNP ) với đường thẳng B’C . Tính tỉ số KB′KC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Trường hợp 1: (α) chứa đường thẳng Δ và cắt đường thẳng d tại I
Khi đó: I=d∩Δ⇒I=d∩(α)
Trường hợp 2: (α) không chứa đường thẳng nào d
- Tìm (β)⊃d và (α)∩(β)=Δ
- Tìm I=d∩Δ
Suy ra, I=d∩(α).
Lời giải chi tiết
a) Ta có (MNP)∩(ABC)=MN,(ABC)∩(ACC′A′)=AC,AC//MN (do MN là đường trung bình của tam giác ABC ) suy ra giao tuyến của ( MNP ) và ( ACC'A' ) song song với MN và AC.
Qua P kẻ đường thẳng song song với AC cắt CC' tại H.
PH là giao tuyến của ( MNP ) và ( ACC'A' ).
Nối H với N cắt B'C tại K.
Vậy K là giao điểm của ( MNP ) và B'C.
b) Gọi giao điểm BC' và B'C là O.
Ta có ACC'A' là hình bình hành P là trung điểm AA', PH //AC suy ra H là trung điểm CC'.
Xét tam giác CC'B ta có: HN là đường trung bình suy ra CK = OK.
Mà OC = OB' suy ra KB′KC=3.