Bài 4. 46 trang 103 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tứ diện ABCD . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 3AM . Mặt phẳng ( P ) đi qua M song song với hai đường thẳng AD và BC.

a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng ( P ) với đường thẳng CD.

b) Tính tỉ số $\frac{{KC}}{{CD}}$.

Lời giải chi tiết

a) Qua M kẻ MH// BC, MI // AD .

mp(P) đi qua M song song với hai đường thẳng AD và BC.

Suy ra mp(P) chứa MH và MI.

Ta có:

$\begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap (P) = MH\\\left( {ABC} \right) \cap (BCD) = BC\end{array}$

$\Rightarrow$ MH // BC .

Suy ra, giao tuyến của (P) và ( BCD ) song song với BC và MH.

Qua I kẻ IK // BC (K thuộc CD )

Vậy giao điểm của (P) và CD là K.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}\left( {ABD} \right) \cap (P) = MI\\\left( {ABD} \right) \cap (ACD) = AD\\(P) \cap (ACD) = HK\end{array}$

$\Rightarrow$ MI // AD, HK //MI

Tứ giác MHKI có: MH // KI, MI // HK

Suy ra MHKI là hình bình hành $\Rightarrow$ MH = KI.

Xét tam giác ABC có MH // BC, BM = 3AM

Suy ra BC = 4MH suy ra BC = 4KI.

Xét tam giác BCD có IK // BC, BC = 4KI suy ra $\frac{{KC}}{{CD}} = \frac{3}{4}$.