Bài 5. 3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi

a) ${u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}$

b) ${v_n} = \sqrt {2{n^2} + 1}  - n$

Lời giải chi tiết

a)  $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {u_n}\; = \mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\; = \mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}$

Ta có: $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\; = 1,\;\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \left( {\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\; = 0$

Suy ra ${u_n}\; =  + \infty$

b) ${v_n}\; = \sqrt {2{n^2} + 1}  - n\; = \frac{{2{n^2} + 1 - {n^2}}}{{\sqrt {2{n^2} + 1} + n }}\; = \frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2}\left( {\sqrt {\frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}} }+ \frac{1}{n} } \right)}} = \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt {\frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}} }+ \frac{1}{n} }}\;\; =  + \infty$