Bài 4 trang 168 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác của góc B cắt tại F, tia phân giác của góc C cắt AB tại E.

a) Chứng minh rằng $\widehat {ABF} = \widehat {ACE}.$

b) Chứng minh rằng tam giác AEF cân.

c) Gọi I là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tam giác IBC và IEF  là những tam giác cân.

Lời giải chi tiết

a)Ta có: $\widehat {FBC} = \widehat {ABF} = {{\widehat {ABC}} \over 2}$   (BF là tia phân giác của góc ABC)

$\widehat {ECB} = \widehat {ACE} = {{\widehat {ACB}} \over 2}$   (CE là tia phân giác của góc ACB)

$\widehat {ABC} = \widehat {ACE}(\Delta ABC$  cân tại A)

Do đó: $\widehat {ABF} = \widehat {FBC} = \widehat {ECB} = \widehat {ACE} \Rightarrow \widehat {ABF} = \widehat {ACE}$

b)Xét tam giác AEC và AFB có:

$\widehat {EAC} = \widehat {FAB}$   (góc chung)

AC = AB (tam giác ABC cân tại A)

$\widehat {ACE} = \widehat {ABF}$   (chứng minh câu a)

Do đó: $\Delta AEC = \Delta AFB(g.c.g) \Rightarrow AE = AF.$   Vậy $\Delta AEF$  cân tại A.

c) Ta có: $\widehat {IBC} = \widehat {ICB}$   (chứng minh câu a). Vậy tam giác IBC cân tại I.

Ta có: $\widehat {AEF} + \widehat {IEF} = \widehat {AEI};\widehat {AFE} + \widehat {IFE} = \widehat {AFI}$

Mà $\widehat {AEF} = \widehat {AFE};\widehat {AEI} = \widehat {AFI} \Rightarrow \widehat {IEF} = \widehat {IFE}$

Do đó tam giác IEF cân tại I.