Bài 42 trang 83 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn. $P,\, Q,\, R$ theo thứ tự là các điểm chính giữa các cung bị chắn $BC, \, CA, \,AB$ bởi các góc $A, \,B,\, C$.

a) Chứng minh $AP \bot QR.$

b) $AP$ cắt $CR$ tại $I$. Chứng minh tam giác $CPI$ là tam giác cân.

Lời giải chi tiết

a) Gọi giao điểm của $AP$ và $QR$ là $K$.

Vì $P,\, Q,\, R$ theo thứ tự là các điểm chính giữa các cung bị chắn $BC, \, CA, \,AB$ bởi các góc $A, \,B,\, C$ nên $sđ\overparen{AR}=sđ\overparen{RB}=\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AB}$ , $sđ\overparen{AQ}=sđ\overparen{QC}=\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AC}$, $sđ\overparen{PC}=sđ\overparen{PB}=\dfrac {1}{2}sđ\overparen{BC}.$

Suy ra $sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{QC}+sđ\overparen{CP}$$=\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AB}+\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AC}+\dfrac {1}{2}sđ\overparen{BC}$$=\dfrac {1}{2}(sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{CB})$$=\dfrac {1}{2}.360^0=180^0$

Xét đường tròn $(O)$ ta có:

+) $\widehat{AKR}$ là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn cung $AR$ và $QP$ nên:  $\widehat{AKR}=\dfrac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{QP}}{2}=\dfrac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{QC}+sđ\overparen{CP}}{2}=\dfrac{1}{2}.180^0=90^0.$

Vậy $\widehat{AKR} = 90^0$ hay $AP \bot QR$

b) Xét đường tròn $(O)$ ta có:

+) $\widehat{CIP}$  là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn cung $AR$  và $CP$ nê n: $\widehat{CIP}=\dfrac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{CP}}{2}$    (1)

+) $\widehat {PCI}$ góc nội tiếp chắn cung $PR$, nên $\widehat {PCI}=\dfrac{sđ\overparen{RB}+sđ\overparen{BP}}{2}$    (2)

Theo giả thiết thì $\overparen{AR} = \overparen{RB}$  (3)

và  $\overparen{CP} = \overparen{BP}$        (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: $\widehat {CIP}=\widehat {PCI}$. Do đó $∆CPI$ cân.