Bài 47 trang 86 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Gọi cung chứa góc $55^0$ ở bài tập 46 là $\overparen{AmB}$. Lấy điểm ${M_1}$ nằm bên trong và điểm ${M_2}$ nằm bên ngoài đường tròn chứa cung này sao cho ${M_1},{M_2}$ và cung $\overparen{AmB}$ nằm cùng về một phía đối với đường thẳng $AB$. Chứng minh rằng:

a) $\widehat {A{M_1}B} > 55^0$;

b) $\widehat {A{M_2}B} < 55^0$.

Lời giải chi tiết

a) ${M_1}$ là điểm bất kì nằm trong cung chứa góc $55^0$ (hình vẽ).

Gọi $A', \,  B’$ theo thứ tự là giao điểm của ${M_1}A,$  ${M_1}B$ với cung tròn.

Ta có $\widehat {AA'B} = \dfrac{1}{2}$ sđ $\overparen{AB} = 55^\circ$ (góc nội tiếp chắn cung $AB$ và cung $AmB$ là cung chứa góc $55^\circ$)

Vì $\widehat{A{M_1}B}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung $A'B'$ và $AB$ nên:

$\widehat {A{M_1}B}$ $=\dfrac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{A'B'}}{2}>\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AB} =55^0$.

Vậy $\widehat {A{M_1}B} > 55^0$

b)  ${M_2}$ là điểm bất kì nằm ngoài đường tròn (hình vẽ )

Ta có ${M_2}A, \, {M_2}B$ lần lượt cắt đường tròn tại $A’, \, B’.$

$\widehat {AA'B} = \dfrac{1}{2}$ sđ $AB = 55^\circ$ (góc nội tiếp chắn cung $AB$ và cung $AmB$ là cung chứa góc $55^\circ$)

Vì góc $\widehat {A{M_2}B}$ là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn chắn cung $A'B'$ và $AB$ nên:

$\widehat {A{M_2}B}= \dfrac{sđ\overparen{AB}-sđ\overparen{A'B'}}{2}<\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AB} =55^0 .$ Vậy  $\widehat {A{M_2}B} < 55^0.$