Bài 5. 30 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{x}$ không tồn tại.

Lời giải chi tiết

$f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{x}$

Ta lấy hai dãy của biến hội tụ về 0: $x_n^{\left( 1 \right)} = \frac{1}{n};x_n^{\left( 2 \right)} =  - \frac{1}{n}\;$

Khi đó: $\lim f\left( {x_n^{\left( 1 \right)}} \right) = \lim \left( {\frac{{\frac{1}{n}}}{{\frac{1}{n}}}} \right) = 1$

$\lim f\left( {x_n^{\left( 2 \right)}} \right) = \lim \left( {\frac{{\frac{1}{n}}}{{ - \frac{1}{n}}}} \right) =  - 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x_n^{\left( 1 \right)}} \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x_n^{\left( 2 \right)}} \right)$

Vậy không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{x}$