Bài 6 trang 175 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1
Giải bài tập Cho tam giác DEF cân tại D. Gọi I là trung điểm của EF.
Đề bài
Cho tam giác DEF cân tại D. Gọi I là trung điểm của EF.
a) Chứng minh rằng ΔDIE=ΔDIF.
b) Kẻ IM⊥DE(M∈DE),IN⊥DF(N∈DF). Chứng minh rằng ΔIMN cân.
c) Chứng minh rằng MN // EF.
d) Chứng minh rằng
2IN2=DF2−DN2−NF2.
Lời giải chi tiết
a)Xét tam giác DIE và DIF ta có:
DI là cạnh chung
IE = IF (I là trung điểm của EF)
DE = DF (tam giác DEF cân tại D)
Do đó: ΔDIE=ΔDIF(c.g.c).
b) Xét tam giác MDI vuông tại M và tam giác NDI vuông tại N có:
DI là cạnh chung.
^MDI=^NDI(ΔDIE=ΔDIF)
Do đó: (cạnh huyền - góc nhọn) => IM = IN.
Vậy tam giác IMN cân tại I.
c) Ta có: DM=DN(ΔMDI=ΔNDI)⇒ΔDMN cân tại D ⇒^DMN=^DNM
Mà ^DMN+^DNM+^MDN=1800 (tổng ba góc trong một tam giác)
Do đó: ^DMN=1800−^MDN2(1)
Ta có: ^DEF=^DFE(ΔDEF cân tại D)
Mà ^DEF+^DFE+^EDF=1800 (tổng ba góc trong một tam giác)
Do đó: ^DEF=1800−^EDF2=1800−^MDN2(2)
Tà (1) và (2) suy ra: ^DMN=^DEF
Mà hai góc DMN và DEF đồng vị. Do đó: MN // EF.
d) Ta có: ^DIE=^DIF(ΔDIE=ΔDIF)
Mà ^DIE+^DIF=1800 (kề bù). Do đó: ^DIF+^DIF=1800⇒2^DIF=1800⇒^DIF=900
Tam giác IDF vuông tại I⇒ID2+IF2=DF2 (định lí Pythagore)
Tam giác NDI vuông tại N ⇒IN2+DN2=ID2⇒IN2=ID2−DN2 (định lí Pythagore)
Tam giác NIF vuông tại N IN2+NF2=IF2⇒IN2=IF2−NF2 (định lí Pythagore)
Do đó: 2NI2=ID2−DN2+IF2−NF2=(ID2+IF2)−DN2−NF2=DF2−DN2−NF2