Bài 6 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là $f > 0$ không đổi. Gọi $d$ và $d'$ lần lượt là khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm $O$ của thấu kính (Hình 5). Ta có công thức: $\frac{1}{d} + \frac{1}{{d'}} = \frac{1}{f}$ hay $d' = \frac{{df}}{{d - f}}$.

Xét hàm số $g\left( d \right) = \frac{{df}}{{d - f}}$. Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa.

a) $\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} g\left( d \right)$;

b) $\mathop {\lim }\limits_{d \to  + \infty } g\left( d \right)$.

Lời giải chi tiết

a) $\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} g\left( d \right) = \mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \frac{{df}}{{d - f}} = \mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \left( {df} \right).\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \frac{1}{{d - f}}$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \left( {df} \right) = f\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} d = {f^2};\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \frac{1}{{d - f}} =  + \infty$

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} g\left( d \right) = \mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \frac{{df}}{{d - f}} =  + \infty$

Ý nghĩa: Khi vật dần đến tiêu điểm từ phía xa thấu kính đến gần thấu kính thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính dần đến $+ \infty$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{d \to  + \infty } g\left( d \right) = \mathop {\lim }\limits_{d \to  + \infty } \frac{{df}}{{d - f}} = \mathop {\lim }\limits_{d \to  + \infty } \frac{{df}}{{d\left( {1 - \frac{f}{d}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{d \to  + \infty } \frac{f}{{1 - \frac{f}{d}}} = \frac{f}{{1 - 0}} = f$

Ý nghĩa: Khi khoảng cách từ vật đến thấu kính càng xa thì ảnh tiến dần đến tiêu điểm của ảnh $\left( {F'} \right)$.