Bài 65 trang 34 SGK Toán 9 tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Rút gọn rồi so sánh giá trị của $M$ với $1$, biết:

$M={\left(\dfrac{1}{a -\sqrt a} +\dfrac{1}{\sqrt a -1}\right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{a -2\sqrt a+1}$   với $a > 0$ và $a \ne 1$.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$M={\left(\dfrac{1}{a -\sqrt a} +\dfrac{1}{\sqrt a -1}\right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{a -2\sqrt a+1}$

$={\left(\dfrac{1}{\sqrt a .\sqrt a -\sqrt a .1}+\dfrac{1}{\sqrt a -1} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a)^2 -2\sqrt a+1}$

$={\left(\dfrac{1}{\sqrt a(\sqrt a -1)}+\dfrac{1}{\sqrt a -1} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}$

$={\left(\dfrac{1}{\sqrt a(\sqrt a -1)}+\dfrac{\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}$

$=\dfrac{1+\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)}  : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}$

$=\dfrac{1+\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)}  . \dfrac{(\sqrt a -1)^2}{\sqrt a +1}$

$=\dfrac{1}{\sqrt a}  . \dfrac{\sqrt a -1}{1}=\dfrac{\sqrt a -1}{\sqrt a}$.

$=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt a}-\dfrac{1}{\sqrt a} =1 -\dfrac{1}{\sqrt a}$

Vì $a > 0 \Rightarrow \sqrt a > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt a} > 0  \Rightarrow 1 -\dfrac{1}{\sqrt a} < 1$.

Vậy $M < 1$.