Bài 64 trang 33 SGK Toán 9 tập 1 — Không quảng cáo

Chứng minh các đẳng thức sau:

LG a

$\left ( \dfrac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}= 1$ với $a ≥ 0$ và $a ≠ 1$

Phương pháp giải:

+ Biến đối vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.

+ $\sqrt{A^2}=|A|$.

+ $|A|=A$    nếu    $A \ge 0$,

$|A|=-A$     nếu    $A < 0$.

+ Sử dụng các hằng đẳng thức:

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

$a^2- b^2=(a+b).(a-b)$.

$a^3- b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Lời giải chi tiết:

Biến đổi vế trái để được vế phải.

Ta có:

$VT=\left ( \dfrac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}$

$=\left ( \dfrac{1-(\sqrt{a})^3}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1-\sqrt{a}}{(1-\sqrt a)(1+ \sqrt a)} \right )^{2}$

$=\left ( \dfrac{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt a+(\sqrt a)^2)}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1}{1+ \sqrt a} \right )^{2}$

$=\left [ (1+\sqrt a+(\sqrt a)^2) +\sqrt{a}\right ].  \dfrac{1}{(1+ \sqrt a)^2}$

$=\left [ (1+2\sqrt a+(\sqrt a)^2)\right ].  \dfrac{1}{(1+ \sqrt a)^2}$

$=(1+\sqrt a)^2.  \dfrac{1}{(1+ \sqrt a)^2}=1=VP$.

LG b

$\dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}}  = \left| a \right|$ với $a + b > 0$ và $b ≠ 0$

Phương pháp giải:

+ Biến đối vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.

+ $\sqrt{A^2}=|A|$.

+ $|A|=A$    nếu    $A \ge 0$,

$|A|=-A$     nếu    $A < 0$.

+ Sử dụng các hằng đẳng thức:

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

$a^2- b^2=(a+b).(a-b)$.

$a^3- b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$VT=\dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}}$

$=\dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{(ab^2)^2}{(a+b)^2}}$

$=\dfrac{a+b}{b^{2}}\dfrac{\sqrt{(ab^2)^2}}{\sqrt{(a+b)^2}}$

$=\dfrac{a+b}{b^{2}}\dfrac{|ab^2|}{|a+b|}$

$=\dfrac{a+b}{b^{2}}.\dfrac{|a|b^2}{a+b}=|a|=VP$

Vì $a+b > 0 \Rightarrow |a+b|=a+b$.