Bài 62 trang 64 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Cho phương trình $7x^2 + 2(m – 1)x – m^2= 0$

LG a

Với giá trị nào của $m$ thì phương trình có nghiệm?

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\left( {a \ne 0} \right)$ có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta \ge 0$ (hoặc $\Delta ' \ge 0)$

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình $7x^2 + 2(m – 1)x – m^2 = 0$ (1) có $a=7\ne 0$

Phương trình (1) có nghiệm khi $\Delta’ ≥ 0$

Ta có: $\Delta’ = (m – 1)^2 – 7(-m^2) = (m – 1)^2 + 7m^2 ≥ 0$ với mọi $m$

Vậy phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của $m$

LG b

Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo $m$.

Phương pháp giải:

Hệ thức Vi-et: Với $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\left( {a \ne 0} \right)$ thì

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\ {x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} \end{array} \right.$

Biến đổi $x_1^2+x_2^2$ để sử dụng được hệ thức Vi-ét.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình $7x^2 + 2(m – 1)x – m^2 = 0$ (1) có $a=7\ne 0$

Gọi ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình (1)

Theo hệ thức Viet ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} =  - \dfrac{2(m-1)}{7}\\ {x_1}.{x_2} = \dfrac{- m^2}{7} \end{array} \right.$

Ta có:

$\begin{array}{l} x_1^2 + x_2^2=x_1^2 + x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2 \\= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\\ = {\left[ {\dfrac{{ - 2\left( {m - 1} \right)}}{7}} \right]^2} - 2.\dfrac{{ - {m^2}}}{7}\\ = \dfrac{{4\left( {{m^2} - 2m + 1} \right)}}{{49}} + \dfrac{{2{m^2}}}{7}\\ = \dfrac{{4{m^2} - 8m + 4 + 14{m^2}}}{{49}}\\ = \dfrac{{18{m^2} - 8m + 4}}{{49}} \end{array}$

Vậy $\displaystyle x_1^2 + x_2^2 = {{18{m^2} - 8m + 4} \over {49}}$ .