Bài 62 trang 91 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

a) Vẽ tam giác $ABC$ cạnh $a = 3cm$.

b) Vẽ đường tròn $(O;R)$ ngoại tiếp tam giác đều $ABC$. Tính $R$.

c) Vẽ đường tròn $(O;r)$ nội tiếp tam giác đều $ABC$. Tính $r$.

d) Vẽ tiếp tam giác đều $IJK$ ngoại tiếp đường tròn $(O;R)$.

Lời giải chi tiết

a) Vẽ tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $3cm$ (dùng thước có chia khoảng và compa).

+ Dựng đoạn thẳng AB = 3cm .

+Dựng cung tròn (A, 3) và cung tròn (B, 3). Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm C.

Nối A với C, B với C ta được tam giác đều ABC cạnh 3cm.

b) Gọi $A';B';C'$ lần lượt là trung điểm của $BC;AC;AB.$

Tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$ là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời là ba đường cao, ba trung tuyến, ba phân giác $AA';BB';CC'$ của tam giác đều $ABC$).

Dựng đường trung trực của đoạn thẳng BC và CA.

Hai đường trung trực cắt nhau tại O.

Vẽ đường tròn tâm O, bán kính $R=OA = OB = OC$ ta được đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Tính $AA'$:

Xét tam giác $AA'C$ vuông tại $A'$ có $AC=3;A'C=\dfrac{3}{2}$, theo định lý Pytago ta có $AC^2=AA'^2+A'C^2$$\Rightarrow AA'^2=3^2-\dfrac {3^2}{4}=\dfrac {9}{4} \Rightarrow AA'=\dfrac {3\sqrt {3}}{2}$

Theo cách dựng ta có O cũng là trọng tâm tam giác ABC nên $OA=\dfrac{2}3AA'$

Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là   $R= OA =$ $\dfrac{2}{3}$$AA'$ = $\dfrac{2}{3}$. $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ = $\sqrt3 (cm)$.

c) Do tam giác ABC là tam giác đều các trung điểm A’; B’; C’ của các cạnh BC; CA; AB đồng thời là chân đường phân giác hạ từ A, B, C đến BC, AC, AB.

Đường tròn nội tiếp $(O;r)$ tiếp xúc ba cạnh của tam giác đều $ABC$ tại các trung điểm $A', B', C'$ của các cạnh.

Hay đ ường tròn (O; r) là đường tròn tâm O; bán kính $r=OA’ = OB’ = OC’.$

Ta có: $r = OA'$$=\dfrac{1}{3}$$AA'$ $=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{2}(cm).$

d) Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn $(O;R)$ tại $A,B,C$. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại $I, J, K$. Ta có $∆IJK$ là tam giác đều ngoại tiếp $(O;R)$.