Bài 64 trang 92 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Trên đường tròn bán kính $R$ lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm $A$, ba cung $\overparen{AB}$, $\overparen{BC}$, $\overparen{CD}$ sao cho: $sđ\overparen{AB}$=$60^0$, $sđ\overparen{BC}$=$90^0$, $sđ\overparen{CD}$=$120^0$

a) Tứ giác $ABCD$ là hình gì?

b) Chứng minh hai đường chéo của tứ giác $ABCD$ vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác $ABCD$ theo $R$.

Lời giải chi tiết

a) Xét đường tròn $(O)$ ta có:

$\displaystyle \widehat {BA{\rm{D}}} = {{{{90}^0} + {{120}^0}} \over 2} = {105^0}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{BCD}$ )     (1)

$\displaystyle \widehat {A{\rm{D}}C} = {{{{60}^0} + {{90}^0}} \over 2} = {75^0}$ ( góc nội tiếp chắn $\overparen{ABC}$ )          (2)

Từ (1) và (2) có:

$\widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{D}}C} = {105^0} + {75^0} = {180^0}$ (3)

Mà hai góc này ở vị trí trong cùng phía

Nên $AB // CD$. Do đó tứ giác $ABCD$ là hình thang, mà hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân.

Vậy $ABCD$ là hình thang cân suy ra ($BC = AD$ và $sđ\overparen{BC}$= $sđ\overparen{AD}$=$90^0$)

b) Giả sử hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $I$.

$\widehat {CI{\rm{D}}}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên:

$\displaystyle \widehat {CI{\rm{D}}}$ $=\dfrac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{CD}}{2}$$=\displaystyle {{{{60}^0} + {{120}^0}} \over 2} = {90^0}$

Vậy $AC \bot BD.$

c) Vì $sđ\overparen{AB}= 60^0$ nên $\widehat {AOB} = {60^0}$ (góc ở tâm)

$=> ∆AOB$ đều, nên $AB = OA = OB = R.$

Vì  $sđ \overparen{BC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {BOC} = {90^0}$ (góc ở tâm)

$\Rightarrow BC = \sqrt{OB^2+OC^2}=R\sqrt2.$

Kẻ $OH \bot CD.$

Tứ giác $ABCD$ là hình thang cân $\Rightarrow \widehat{BCD}=\widehat{ADC}=75^0.$

Lại có $\Delta BOC$ vuông cân tại $O \Rightarrow \widehat{BCO}=45^0.$

$\Rightarrow \widehat{OCD}=\widehat{BCD}-\widehat{BCO}=75^0-45^0=30^0.$

Xét $\Delta OCH$ vuông tại $H$ ta có:

$HC=OC.\cos \widehat{OCH}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}.$

Mà $H$ là trung điểm của $CD$ (định lý đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy).

$\Rightarrow CD=2.CH=R\sqrt3.$