Bài 7. 19 trang 53 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Toán 11, giải toán lớp 11 kết nối tri thức với cuộc sống Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc Toán 11 Kết nối tri thức


Bài 7.19 trang 53 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Cho hình chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.

Đề bài

Cho hình chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.

a) Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.

b) Tính tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong mặt phẳng vuông góc vào giao tuyến hai mặt phẳng tại cùng 1 điểm.

Lời giải chi tiết

Vì hình chóp S.ABC đều, gọi G là hình chiếu của S trên (ABC) nên G là tâm của đáy ABC là tam giác đều do đó G cũng là trọng tâm hay trực tâm của tam giác ABC.

Gọi AG cắt BC tại D

a) Ta có A là hình chiếu của A trên (ABC)

G là hình chiếu của S trên (ABC)

\( \Rightarrow \) AG là hình chiếu của SA trên (ABC)

\( \Rightarrow \left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA,AG} \right) = \widehat {SAG}\)

Tam giác ABC đều cạnh a nên \(AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Mà G là trọng tâm nên \(AG = \frac{2}{3}AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Xét tam giác SAG vuông tại G có

\(SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}}  = \sqrt {{b^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} \)

\(\sin \widehat {SAG} = \frac{{SG}}{{SA}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} :b = \sqrt {1 - \frac{{{a^2}}}{{3{b^2}}}} \)

b) Ta có \(AG \bot BC,SG \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SAD} \right);SD \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow BC \bot SD\)

\(BC \bot AD\) (G là trực tâm)

\(\begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\ \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {AD,SD} \right) = \widehat {SDA}\end{array}\)

Mà G là trọng tâm nên \(GD = \frac{1}{3}AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Xét tam giác SGD vuông tại G có

\(\tan \widehat {SGD} = \frac{{SG}}{{GD}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} :\frac{{a\sqrt 3 }}{6} = \frac{6}{{a\sqrt 3 }}.\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} \)


Cùng chủ đề:

Bài 7. 14 trang 43 SGK Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức
Bài 7. 15 trang 43 SGK Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức
Bài 7. 16 trang 53 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 7. 17 trang 53 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 7. 18 trang 53 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 7. 19 trang 53 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 7. 20 trang 53 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 7. 21 trang 53 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 7. 22 trang 59 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 7. 23 trang 59 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 7. 24 trang 59 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức