Bài 7. 24 trang 59 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:

a) MN là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Các cặp cạnh đối diện trong tứ diện ABCD đều vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $BN \bot CD,AG \bot CD \Rightarrow CD \bot \left( {ABN} \right),MN \subset \left( {ABN} \right) \Rightarrow CD \bot MN$

Vì BN, AN lần lượt là 2 đường trung tuyến của 2 tam giác đều cạnh a nên BN = AN

Do đó tam giác ABN cân tại N mà M là trung điểm AB

$\Rightarrow$ $AB \bot MN$

Vậy MN là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Ta có $CD \bot \left( {ABN} \right);AB \subset \left( {ABN} \right) \Rightarrow CD \bot AB$

Chứng minh tương tự ta được $BC \bot AD,BD \bot AC$

Vậy các cặp cạnh đối diện trong tứ diện ABCD đều vuông góc với nhau