Bài 8 trang 171 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho H là trung điểm của AM.

a) Chứng minh rằng $\Delta ABH = \Delta MBH.$

b) Chứng minh rằng $\widehat {BAC} = \widehat {BMC}.$

c) Gọi I là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia IA lấy điểm N sao cho I là trung điểm của AN. Chứng minh rằng NC = BM.

d) Cho AB = 13 cm, AH = 12 cm, HC = 16 cm. Tính độ dài của cạnh AC, BC.

Lời giải chi tiết

a)Xét hai tam giác ABH và MBH ta có:

$\widehat {AHB} = \widehat {MHB}( = {90^0})$

AH = MH (H là trung điểm của AM)

BH là cạnh chung.

Do đó: $\Delta ABH = \Delta MBH(c.g.c)$

b) Ta có: $\Delta ABH = \Delta MBH$  (chứng minh câu a)

Suy ra: AB = MB và $\widehat {ABH} = \widehat {MBH}.$

Xét hai tam giác ABC và MBC ta có:

BC là cạnh chung

$\widehat {ABC} = \widehat {MBC}(cmt)$

AB = BM (chứng minh trên)

Do đó: $\Delta ABC = \Delta MBC(c.g.c) \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {BMC}.$

c) Xét tam giác ABI và NCI ta có:

AI = NI (I là trung điểm của AN)

$\widehat {AIB} = \widehat {CIN}$   (hai góc đối đỉnh)

BI = CI (I là trung điểm của BC)

Do đó: $\Delta ABI = \Delta NCI(c.g.c) \Rightarrow AB = CN.$

Mà AB = BM (chứng minh câu b) nên CN = BM.

d) Tam giác ABH vuông tại H $\Rightarrow B{H^2} + A{H^2} = A{B^2}$  (định lí Pythagore)

$B{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = {13^2} - {12^2} = 169 - 144 = 25.$

Mà BH > 0. Do đó: $BH = \sqrt {25}  = 5(cm).$

Tam giác AHC vuông tại H $\Rightarrow A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}$   (định lí Pythagore)

Do đó: $A{C^2} = A{H^2} + H{C^2} = {12^2} + {16^2} = 400.$

Mà AC > 0 nên $AC = \sqrt {400}  = 20(cm)$

Mặt khác BC = BH + HC = 5 + 16 = 21 (cm).