Bài 8 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho $cos\alpha  = \frac{1}{3}$ và $- \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0$. Tính

$\begin{array}{l}a)\;sin\alpha \\b)\;sin2\alpha \\c)\;cos\left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right)\end{array}$

Lời giải chi tiết

a, Ta có: ${\sin ^2}x + co{s^2}x = 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \sin \alpha  =  \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}}  =  \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array}$

Vì $- \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0$ nên $sin\alpha  < 0 \Rightarrow \sin \alpha  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

$b)\;\,sin2\alpha  = 2sin\alpha .cos\alpha  = 2.\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right).\frac{1}{3} =  - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}$

$c)\;cos(\alpha  + \frac{\pi }{3}) = cos\alpha .cos\frac{\pi }{3} - sin\alpha .sin\frac{\pi }{3}$$= \frac{1}{3}.\frac{1}{2} - \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2\sqrt 6  + 1}}{6}$.