Bài tập 13 trang 157 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1
Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ
Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ AH⊥BC(H∈BC) . Trên tia đối của tia HA ta lấy điểm M sao cho HM = HA.
a) Chứng minh rằng ΔABH=ΔMBH
b) Gọi I là trung điểm của BC. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, đường kẻ này cắt tia AI tại D. Chứng minh rằng AB = DC.
c) Chứng minh rằng ^ACB=^AMB
d) Chứng minh rằng BC // DM.
Lời giải chi tiết
a)Xét tam giác AHB và MHB có:
HA = HM (giả thiết)
^AHB=^MHB(=900)
BH là cạnh chung.
Dó đó: ΔAHB=ΔMHB(c.g.c).
b) Ta có: BA⊥AC(tam giác ABC vuông tại A) và DC⊥AC(gt)
⇒AB//CD⇒^ABI=^DCI
Xét tam giác ABI và DCI có:
^ABI=^DCI(cmt)
BI = CI (I là trung điểm của BC)
Và ^AIB=^DIC(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔABI=ΔDCI(g.c.g)
Suy ra : AB = CD.
c) Ta có: ^ACB+^HAC=900(ΔAHCvuông tại H)
^BAH+^HAC=900(^BAC=900)⇒^ACB=^BAH
Mà ^BAH=^BMH(ΔABH=ΔMBH) nên ^ACB=^AMB
d) Cách 1:
Gọi O là giao điểm của BD và CM.
Xét tam giác MBC và DCB có:
BM = CD (=AB)
^MBC=^DCB(=^ABH)
BC là cạnh chung.
Do đó: ΔMBC=ΔDCB(c.g.c)
⇒^BCM=^CBD
⇒^BCM=(1800−^BOC):2(1)
Xét tam giác BDM và CMD có:
BD=CM(ΔMBC=ΔDCB)
BM = CD
MD là cạnh chung.
Do đó: ΔBDM=ΔCMD(c.c.c)
⇒^BDM=^CMD
⇒^CMD=(1800−^MOD):2(2)
Mà ^BOC=^MOD(3) (đối đỉnh)
Từ (1), (2), (3) ta có: ^BCM=^CMD
Mà góc BCM và CMD co le trong do đó: BC // DM.
Cách 2:
Gọi N là trung điểm của MD
Xét hai tam giác HAI và HMI có:
HA = HM (gt)
^AHI=^MHI(=900)
IH là cạnh chung.
Do đó: ΔHAI=ΔHMI(c.g.c)⇒IA=IM,^HAI=^HMI.
Mà IA = ID (ΔABI=ΔDCI)⇒IM=ID
Xét tam giác IMN và IDN có:
IM = ID
IN là cạnh chung
MN = DN (N là trung điểm của MD)
Do đó: ΔIMN=ΔIDN(c.c.c)
⇒^IMN=^IDN.
Ta có:
^HAI+^IDN=^HMI+^IMN
⇒^MAD+^ADM=^AMD
Tam giác AMD có: ^MAD+^ADM+^AMD=1800.
Do đó: ^AMD+^AMD=1800
⇒2^AMD=1800⇒^AMD=900⇒AM⊥DM
Ta có: AM⊥BC;AM⊥DM. Vậy BC // DM.